unidimensional ejercicios

EJERCICIOS DE ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA UNIDIMENSIONAL
1.  Se realiza un estudio en una ciudad sobre la capacidad hotelera y se obtienen los siguientes
resultados:
Plazas
[L i − L i +1 )
0 ‐ 10
10 ‐ 30
30 ‐ 60
60 ‐ 100

Número de Hoteles
ni
25
50
55
20

a)  Representar gráficamente esta distribución de frecuencias mediante un histograma.b)  ¿Cuál es la proporción de hoteles que disponen de entre 11 y 60 plazas?
c)  ¿Cuántos hoteles tienen treinta o menos plazas?
d)  ¿cuál es la proporción de hoteles que disponen de entre 15 y 50 plazas?. ¿Qué hipótesis hace para
     este último cálculo?
Solución:

a)

Intervalos
[L i − L i +1 )
0 ‐ 10
10 ‐ 30
30 ‐ 60
60 ‐ 100

Fr.
Amplitud
absoluta
ci
ni
25
50
55
20
150

Marca
clase
xi

Fr. absoluta
acumulada
Ni

5
20
45
80

25
75
130
150

10
20
30
40
100

Fr. absolutaDensidad
relativa
n
di = i
Ni
Fi =
ci
N
0,17
0,17
2,5
0,33
0,50
2,5
70%
0,37
0,87
1,83
0,13
1
0,5
1

Fr. relativa
n
fi = i
N

b)  El 70% de los hoteles disponen entre 11 y 60 plazas:
                f2 + f3 = 0,7 (70%) ,  o bien    % =

n2 + n3 50 + 55 105
=
=
= 0,7
N
150
150

c)  Los hoteles que tienen treinta o menos plazas:   N2 = 75
1d)  Proporción de hoteles que disponen entre 15 y 50 plazas:
    Entre 15 y 30:  

30 − 10 30 − 15
20 15
=
=
6
6 x = 37,5 hoteles
50
x
50 x

    Entre 30 y 50:  

60 − 30 50 − 30
30 20
=
=
6
6 x = 36,67 hoteles
55
x
55 x

El número de hoteles entre 15 y 50 plazas hay  37,5 + 36,67 = 74 ,17 hoteles
74 ,17
La proporción de hoteles con estas plazas:    % hoteles =
. 100 = 49,44%
150En el cálculo realizado se supone que la distribución de hoteles es uniforme, es decir, se supone que
hay el mismo número de hoteles con 31 plazas, con 32 plazas,  etc.
⎡
n⎤
En cada caso, este número es la densidad  ⎢di = i ⎥ de frecuencia correspondiente.
ci ⎦
⎣

2.  Se ha realizado un estudio entre 100 mujeres mayores de 15 años, observándose el número de
hijos de las mismas. El resultado ha sido:
Número de hijos  (x i )
0
1
2
3
4
5
6

Número de mujeres  (ni )
13
20
25
20
11
7
4a)  Calcular el número medio de hijos, la mediana y la moda.
b)  Calcular los cuartiles. Explicar su significado.
c)  ¿Cuál es el número máximo de hijos que tiene el 70% de las mujeres que menos hijos tienen?
d)  Calcular la desviación típica y coeficiente de variación de Pearson.
e)  Analizar la forma de la distribución calculando los coeficientes correspondientes.
Solución:

a)
fi =

ni

Ni

0
1
2
3
4
5
6

13
2025
20
11
7
4
100

13
33
58
78
89
96
100

     70     50    25

xi

ni
N

0,13
0,20
0,25
0,20
0,11
0,07
0,04
1,0

Fi =

Ni
N

0,13
0,33
0,58
0,78
0,89
0,96
1

x i ni

(x i − x )

(x i − x) 2

(x i − x ) 2 ni

(xi − x) 3 ni

(x i − x ) 4 ni

0
20
50
60
44
35
24
233

‐2,33
‐1,33
‐0,33
0,67
1,67
2,67
3,67

5,43
1,77
0,11
0,45
2,79
7,13
13,47

70,58
35,38
2,72
8,98
30,68
49,90
53,88
252,11

‐164,44‐47,05
‐0,90
6,02
51,23
133,24
197,72
175,82

383,15
62,58
0,30
4,03
85,56
355,75
725,65
1617,01

2

7

Media aritmética:   x =

∑ xi ni
i=1

N

=

233
= 2,33
100

Mediana:   Me = 2    (pasa de la mitad 50%)                   Md = 2   (n3 = 25, el más grande)
b)
⎡ 100
⎤
= 25⎥ : Q 1 = 1 hijo (F2 pasa del 25%)
   1º Cuartil  ⎢
⎣ 4
⎦
⎡ 100
⎤
= 50⎥ : Q 2 = Me = 2 hijos (F3 pasa del 50%)
2º Cuartil  ⎢
⎣ 2⎦
⎡ 100. 3
⎤
= 75⎥ : Q 3 = 3 hijos (F4 pasa del 75%)
3º Cuartil  ⎢
⎣ 4
⎦
c)  El número máximo de hijos que tiene el 70% de las mujeres que menos hijos tienen es el decil 7
               Decil 7:  3 hijos   F4 pasa de 0,7)
7

d)    Varianza:   m2 = s 2 =

∑ [x − x ] 2 ni
i=1

N

        Desviación típica:  s =

=

252,11
= 2,5211 hijos 2
100

2,5211 = 1,59 hijos        Coeficiente de Variación de Pearson:  C.V =

S 1,59
=
= 0,6824 una dispersión del 68,24%
x 2,33

e)    ASIMETRÍA DE LA DISTRIBUCIÓN:
ƒ

Coeficiente de asimetría de Fisher:
1 7
∑ (x i − x) 3 ni 1,76
m3 N i=1
        g 1 = 3 =
=
= 0,4378 > 0 6 Asimetría a la derecha o positiva
s
s3
1,59 3
ƒ

Coeficiente de asimetría de Bowley:

        AB =

Q 3 + Q 1 − 2 Me 3 + 1 − 2.2
=
= 0...