Variables Aleatoreas

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Índice
1. Variables aleatorias continuas 1.1. Distribución uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Distribución exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Distribución normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5 8 8

1.

Variables aleatorias continuas

Variable aleatoria continua Definición 1.1. Una variablealeatoria continua es aquella cuyo rango contiene un intervalo de números reales. Tiempo, longitud, temperatura, voltaje, corriente eléctrica, humedad. Cómo se calcula probabilidad con V.A continuas? Con una variable aleatoria continua no es posible construir una tabla con todos los posibles valores de la variable y sus probabilidades, puesto que este número es infinito. Se postula un modelo ofunción que caracterice la distribución de las probabilidades, función de densidad de X, y se simboliza por fX (x).

¿Cómo se determina la función de densidad? La gráfica del modelo propuesto esta relacionado con la del histograma de frecuencias relativas.
0.20 0.20 Densidad

0.15

0.10

0.05

0.00

0
0.20

5

10

15 X

20

25

30

35
0.20

0.00

0.05

0.10

0.150

5

10

15 X

20

25

30

35

0.15

Densidad

0.10

0.05

0.00

0

5

10

15

20

25

30

35

0.00

0.05

0.10

0.15

0

5

10

15

20

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30

35

¿Cómo se determina la función de densidad?

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70 90 110 130 150 170 190 210 230 250 Resistencia (psi)

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¿Cómo se determina la probabilidad ? Con las variables aleatoriascontinuas las probabilidades están asociadas con áreas debajo de la curva de densidad La función de densidad se define de modo que área total bajo la curva sea igual a 1 y por tanto el área sobre un intervalo dado (a, b) será igual a la probabilidad que X se encuentre en tal intervalo ¿Cómo se determina la probabilidad ?

a

b

Area = P (a ≤ X ≤ b)

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Función de distribución La funciónde distribución de una variable aleatoria continua X, se denota por F (x) y permite calcular la probabilidad de que la variable sea menor o igual que un valor dado, es decir F (x) = P (X ≤ x)

P(X ≤ x0)

x0

Función de distribución Cómo calcular P (a < X < b) usando F Si se conoce la función de distribución de una variable aleatoria continua es muy fácil calcular la probabilidad que lavariable esté en un intervalo (a, b), de la siguiente forma P (a < X < b) = F (b) − F (a)

F (a) a

F (b) −F (b) F (a) b

1.1. Distribución uniforme
Distribución uniforme Definición 1.2. Una variable aleatoria continua X tiene distribución uniforme en el intervalo (a, b), si su función de densidad de probabilidad tiene la forma fX (x) = 1 b−a 0 si a ≤ x ≤ b en cualquier otro caso 5

fX (x)FX (x)

1
1 b−a

a (a)

b

x (b)

a

b

x

Figura 1: (a) Función de densidad de probabilidad, fX (x), y la función de distribución, FX (x) de una uniforme en (a, b) Una variable aleatoria X con distribución uniforme se caracteriza porque la probabilidad de que la variable tome un valor en un intervalo de su rango de variación es la misma para cualquier otro intervalo con la mismalongitud. Función de distribución La función de distribución de una variable uniforme en el intervalo (a, b) es   0  x − a si x ≤ a si a < x < b FX (x) =  b−a  1 si x ≥ b

(1)

Si X es una variable aleatoria con distribución uniforme en el intervalo (a, b) entonces P (x1 < X < x2 ) = x2 − x1 x2 − x1 = b−a rango

Media y Varianza de una V.A uniforme Teorema 1.1. La media y la varianza deuna variable aleatoria con distribución uniforme en el intervalo (a, b) son E(X) = a+b 2 var(X) = (b − a)2 12

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Ejemplo Ejemplo 1.1. El tiempo necesario para terminar una operación de ensamblado es una variable aleatoria con distribución uniforme en el intervalo de 30 a 40 segundos 1. Calcule la proporción de ensambles que requieren más de 35 segundos para concluir la operación. 2. ¿qué...