VENTAS Y COMPRAS REGISTRO

EJERCICIO 7

Si el crecimiento de la población es continuo y la tasa r es proporcional al número N de Individuos presente en una población, entonces =rN, r >0 creciente, r< 0 decreciente. Si cuando t =0, obtenga una fórmula para el numero de individuos de la población al tiempo t .
Desarrollo
, separado las variables: , integrando
de donde , calculando c, cuando t = 0 ,
= c entonces=rt, levantando logartitmo
, de donde
=numero de individuos para el tiempo t = 0
r=tasa de crecimiento de la población
t=tiempo

EJERCICIO 8

Costo de manufactura.
La relación entre el costo de manufactura por el artículo M y el número de tipos de artículos fabricados N; es tal que la tasa de incremento del costo de manufactura, a medida que aumenta el número de tipos, es igual a la razón delcosto por artículo más el número de tipos, dividido, todo, entre el número de tipos de artículos que se manufacturan. Para obtener la relación entre el costo de fabricación por artículo y el número de tipos de productos fabricados si M = cuando N = 1, se procede de la siguiente manera.
La ecuación que representa el caso anterior es:

lo que es lo mismo que: NdM = (M+N)dN :
como son dos funcioneshomogéneas de grado uno, la ecuación diferencial es homogénea.
Al sustituir M = vN y dM = vdN + Ndv, la ecuación anterior toma la forma


al despejar dv se tiene,

al integrar ambas expresiones con respecto a v; se tiene,
v = lnN +c;
al sustituir v = M=N; se tiene,
al despejar M dela expresión anterior, M = N lnN + Nc
y puesto que M = cuando N = 1;
= c
y el costo de manufactura por artículo, para el caso particular en que M = cuando N = 1; se representa por la ecuación
M = N ( +lnN)
En la siguiente figura se ilustra la gráfica de esta ecuación.


EJERCICIO 09

La población q(t) de una ciudad satisfacela ley logística



Donde el tiempo t se mide en años. Suponiendo que la población de esta ciudad es 100000 o en 1980, determine:

a) La población como una función del tiempo t.
b) La población en el año 2000

Solución


a) Debemos plantear el problema y darle forma para mayor simplicidad





Factorizandotenemos:


Podemos darnos cuenta que la ecuación diferencial es de variables separables,luego descompondremos en fracciones parciales el miembro izquierdo de esta ecuación










Al operar se tendrá





Al factorizar q (t)


Y tenemos que






Reemplazando A y B en la ecuación…….



Integramos ambos lados


Ordenamos a comodidad, multiplicamos y dividimos por




Aplicando , tenemos







Aplicando


Operando tenemos que q (t) esEmpleando la condición inicial q (1980)=, t=1980 en


Remplazando c en
Y obtenemos la población q(t) como una función del tiempo (t)



b) La población en el año 2000 es



EJERCICIO 10

Si la elasticidad de la demanda de un bien producido por la empresa
GLORIA S.A ® es para todos los valores de su precio unitario, determine la relación de lademanda.

RESOLUCION:
Sea ‘Q’ el número de unidades demandadas al precio ‘P’. Sabemos que la elasticidad de la demanda ’ está dado por medio de la fórmula:



Como , tenemos que la ecuación diferencial:



Aplicando ‘Variables Separadas’, obtenemos:



Luego, integrando ambos miembros obtenemos:



En donde ‘C’ es la constante de integración.

Entonces combinando los logaritmos tenemos:Podemos escribir esto en forma exponencial como:


Tomamos a , en la que ‘D’ es una constante arbitraria que no puede determinarse sin información adicional. Esta es la relación de demanda requerida.

EJERCICIO 11
Sea un modelo económico que describe las relaciones entre el precio y las ventas semanales de cierto producto, donde V es el volumen de ventas y P el precio del producto. Encontrar el...