vertores en r3

MOISES VILLE
NA
Vectores e
n
3
R
1
Objetivos.
Se persigue que el estu
diante:
•
Represente geométrica
mente un v
e
ctor de
3
R
•
Determine magnitud y dirección de un
vector.
•
Sume vectores, multiplique por un escalar a
un vector, obtenga el
productor escalar y el
producto vectorial entre vectores
•
Obtenga el área de un paralelogramo
sust
entados por dos vect
ores.•
Obtenga el volum
e
n del p
a
ralel
e
pípedo
sust
entado por tres vec
t
ores.
1.1
Defini
ción
1.2
Enfoque geométrico
1.3
Igualdad
1.4
Opera
c
iones
1.5
Aplicaciones
1
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NA
Vectores e
n
3
R
Tomando c
o
mo referencia la teoría de
vectores en el plano, se obt
i
enen
definic
iones y propiedades de los
vectores en el espacio.
1.1 DEFINICIÓN
Un vectorde
3
R
es una terna ordenada de
números reales. Denotada de la siguient
e manera:
()
z
y
x
v
,
,
=
→
1.2 ENFOQUE GEOMÉTRICO
Geométricamente
a un vector de
se lo representa en el Es
pacio
como un segmento de recta dirigido.
3
R
Suponga que se tienen los puntos
(
)
1
1
1
1
,
,
z
y
x
P
y
. Si
trazamos un segmento de rec
t
a dirigido desde
h
a
c
i
atenemos una
representación del vector
()
2
2
2
2
,
,
z
y
x
P
1
P
2
P
()
2
1
1
2
1
2
2
1
,
,
z
z
y
y
x
x
P
P
v
−
−
−
=
=
⎯→
⎯
→
x
y
z
→
v
(
)
1
1
1
1
,
,
z
y
x
P
=
(
)
2
2
2
2
,
,
z
y
x
P
=
Este vector puede tener muchas otra
s representaciones equiv
a
lentes en
el espacio. Una representación equivale
nte útil es aquella quese realiza
ubicando al vector con el or
igen como punto de partida.
x
y
z
→
v
(
)
z
y
x
P
,
,
2
MOISES VILLE
NA
Vectores e
n
3
R
1.2.1 Magnitud o norma
Sea
. La
magnitud o norma
de
→
(
z
y
x
v
,
,
=
→
)
v
denotada como
→
v
, se define como:
2
2
2
z
y
x
v
+
+
=
→
Note que la norma sería la longitud del segmento de recta que define el
vector.Es decir, sería la distancia
entre los puntos que
lo definen.
Para
()
1
2
1
2
1
2
,
,
z
z
y
y
x
x
v
−
−
−
=
→
sería
:
()
(
)
(
)
2
1
2
2
1
2
2
1
2
z
z
y
y
x
x
v
−
+
−
+
−
=
→
1.2.2 Dirección
La
direcci
ón
de
está defini
da por l
a
(
z
y
x
v
,
,
=
→
)
medida de los ángul
o que forma la línea de acció
n
del segm
ento derect
a con los ejes
x
,
,
y
z
α
β
γ
x
y
z
→
v
Los ángulos
α
,
β
y
γ
son llamados
Ángulos Directores.
3
MOISES VILLE
NA
Vectores e
n
3
R
Observe que:
2
2
2
z
y
x
x
v
x
Cos
+
+
=
=
→
α
2
2
2
z
y
x
y
v
y
Cos
+
+
=
=
→
β
2
2
2
z
y
x
y
v
y
Cos
+
+
=
=
→
γ
Eje
r
cicio.
Demostrar que
1
cos
cos
cos
2
2
2
=
+
+
γ
βα
1.2.3 Sentido
El
sentido
de
lo define l
a
fl
echa dibujada so
bre
→
v
el segm
ento de recta.
1.3 IGUALDAD DE V
E
CTORE
S
DE
3
R
Dos
vectores
y
son
()
1
1
1
1
,
,
z
y
x
v
=
→
()
2
2
2
2
,
,
z
y
x
v
=
→
iguales si y sólo si
2
1
x
x
=
,
2
1
y
y
=
y
2
1
z
z
=
1.4 OPERACIONES
1.4.1 Suma
Sean
y
dos vectores de
→
1
v
→
2
v
3R
tales que
()
1
1
1
1
,
,
z
y
x
v
=
→
y
entonces l
a
(
2
2
2
2
,
,
z
y
x
v
=
→
)
suma de
con
, denotada co
mo
, se
→
1
v
→
2
v
→
→
+
2
1
v
v
define como:
()
2
1
2
1
2
1
2
1
,
,
z
z
y
y
x
x
v
v
+
+
+
=
+
→
→
4
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NA
Vectores e
n
3
R
1.4.1.1 Propiedades
Sean
,
y
vectores de
→
1
v
→
2
v
→
3
v3
R
, entonces:
1.
la suma es conmutativa
→
→
→
→
+
=
+
1
2
2
1
v
v
v
v
2.
la suma es asociativa
→
→
→
→
→
→
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
+
3
2
1
3
2
1
v
v
v
v
v
v
3.
,
3
0
R
∈
∃
→
3
R
v
∈
∀
→
tal que
→
→
→
=
+
v
v
0
,
Donde
es llamado
Vector Neutr
o
(
0
,
0
,
0
0
=
→
)
4.
3
R
v
∈
∀
→
,...