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Universidad Austral de Chile ´ Instituto de Matematicas Facultad Ciencias de la Ingenier´ ıa BAIN-041 - Ecuaciones Diferenciales para Ingenier´ ıa

Ley de Enfriamiento de Newton

Profesor Integrantes

Fecha

: Dr. Luis Vergara B. : Loreto Lagos A. Edinson Contreras R. Alberto Lagos T. Ricardo Rochow S. : 17/12/2008

Ley de enfriamiento de Newton

´ Indice
1. Introducci´n o 2.Definici´n del Problema Elegido o 3. Desarrollo de la Soluci´n o 4. Interpretaci´n (Contrastaci´n del modelo) o o 5. Conclusiones 3 4 5 8 10

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1.

Introducci´n o

Las ecuaciones diferenciales se dividen en dos grandes grupos: Las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO) y las Ecuaciones Diferenciales Parciales(EDP). La soluci´n o de una ecuaci´n diferencial (ED) es una funci´n; y si la ecuaci´n representa un fen´meno o o o o f´ ısico, la soluci´n representar´ el desarrollo de este fen´meno en el tiempo y/o el espacio. o a o Para enfatizar todav´ m´s la importancia de las ED, vamos a mostrar el desarrollo de ıa a un fen´meno f´ o ısico mediante un experimento, y luego haremos la deducci´n del modelo omatem´tico para hacer la comparaci´n entre el desarrollo te´rico y el experimental. a o o El prop´sito (como lo describimos en el informe de avance) es analizar el comportamieno to del enfriamiento de un cuerpo en el tiempo.

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2.

Definici´n del Problema Elegido o

El traspaso de calor es un fen´meno f´ o ısicoen el cual dos cuerpos se ponen en contacto t´rmico a diferentes temperaturas. El que tiene mayor temperatura entrega parte de esta e al cuerpo que tiene una menor, hasta que alcanzan el equilibrio t´rmico (dos cuerpos se e encuentran a la misma temperatura). En el caso de nuestro modelo, un cuerpo se pone en contacto t´rmico con el medio ambiente, lo que significa que el cuerpo va a entregar e (oceder) calor, dependiendo de la temperatura inicial del cuerpo y de la temperatura del medio ambiente, por ende va a disminuir (aumentar) su temperatura. Dado el problema, es de utilidad encontrar la temperatura del cuerpo en cualquier instante t, por lo que planteamos un modelo matem´tico para este fen´meno. a o

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3.

Desarrollo de la Soluci´n o

Te´ricamente tenemos que la temperatura de un cuerpo cambia a una velocidad que o es proporcional a la diferencia de las temperaturas entre el medio externo y el cuerpo. Suponiendo que la constante de proporcionalidad es la misma ya sea que la temperatura aumente o disminuya, entonces la ecuaci´n diferencial de la ley de enfriamiento es: o dT = −k(T − Ta) dt (1)

Donde dT es la raz´n de disminuci´n de la temperatura respecto al tiempo. T es la temo o dt peratura del agua, Ta es la temperatura del medio y k es la constante de proporcionalidad. El Experimento consisti´ en calentar 500 ml de agua a una temperatura de 90 C ◦ . o Luego se coloc´ en un recipiente de vidrio con un term´metro como se muestra en la o o figura 1. Se tomaron lecturas aintervalos irregulares de tiempo, la temperatura ambiental era de 19 C ◦ Ahora, arreglando la ecuaci´n (1) tenemos que: o Tiempo (min) Temperatura (C◦ ) 0 78.0 2.3 76.0 6.0 73.0 7.1 72.0 22.0 60.0 45.0 45.0 49.3 43.0

Cuadro 1: Datos te´ricos o dT = −kdt (T − Ta ) Integrando en ambos lados: dT =− (T − Ta ) kdt

ln (T − Ta ) + ln C1 = −kt

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Figura 1: Term´metro o

Ahora, Despejamos T (t) T − Ta = Hacemos C2 =
1 C1

1 −kt e C1

y nos queda T (t) = C2 e−kt + Ta (2)

La funci´n (2) representa el modelo matem´tico para nuestro experimento. De la soo a luci´n se obtiene que existe un numero infinito de posibilidades. Para que este modelo o describa el fen´meno en estudio, se requiere de una...