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Páginas: 5 (1238 palabras)
Publicado: 25 de mayo de 2014
inversa de una matriz
Matriz tranpuesta
Matriz inversa
Raúl Ures
GAL 1
IMERL
14 de marzo de 2013
propiedades
matriz traspuesta
inversa de una matriz
propiedades
matriz traspuesta
matriz traspuesta
matriz traspuesta
si A ∈ Mm×n (K) matriz m × n
A = (aij ) i = 1, . . . , m
j = 1, . . . , n
llamamos matriz traspuesta de A
a la matriz n × mt
At = (aji ) j = i, . . . , n
i = 1, . . . , m
At ∈ Mn×m (K)
t
con aji = aij
matriz traspuesta
inversa de una matriz
matriz traspuesta
ejemplo
ejemplo
A=
1 2 3 4
5 6 7 8
1
2
At =
3
4
5
6
7
8
propiedades
matriz traspuesta
inversa de una matriz
propiedades de la matriz traspuesta
propiedades de la matriz traspuestapropiedades de la matriz traspuesta
1
(At )t = A
2
(A + B)t = At + B t
3
(αA)t = αAt
propiedades
matriz traspuesta
inversa de una matriz
propiedades de la matriz traspuesta
demostración
demostración 1
A = (aij ) i = 1, . . . , m
j = 1, . . . , n
At
(At )t
= (aij ) j = i, . . . , n
i = 1, . . . , m
=
t
(aji ) j = i, . . . , n
i = 1, . . ., m
=
t
(aji ) i = 1, . . . , m
j = 1, . . . , n
= (aij ) i = 1, . . . , m = A
j = 1, . . . , n
propiedades
matriz traspuesta
inversa de una matriz
propiedades
propiedades de la matriz traspuesta
demostración
demostración 2
A = (aij ) i = 1, . . . , m y B = (bij ) i = 1, . . . , m
j = 1, . . . , n
j = 1, . . . , n
A + B = (aij + bij ) i = 1, . . . , m
j= 1, . . . , n
(A +
B)t
=
t
(aji
+
t
bji ) j = i, . . . , n
i = 1, . . . , m
por otro lado
At
= (aji ) j = i, . . . , n
y B t = (bji ) j = i, . . . , n
i = 1, . . . , m
⇒
At
+
Bt
=
t
(aji
+
t
bji ) j = i, . . . , n
i = 1, . . . , m
i = 1, . . . , m
= (A +
B)t
matriz traspuesta
propiedades de la matriz traspuestademostración
demostración 3
ejercicio
inversa de una matriz
propiedades
matriz traspuesta
inversa de una matriz
trasposición del producto
trasposición del producto
trasposición del producto
A ∈ Mm×k (K)
B ∈ Mk ×n (K)
⇒
(AB)t = B t At
propiedades
matriz traspuesta
inversa de una matriz
propiedades
trasposición del producto
demostración
demostraciónAt = (air ) r = 1, . . . , k
A = (air ) i = 1, . . . , m
i = 1, . . . , m
r = 1, . . . , k
Bt
B = (arj ) r = 1, . . . , k
= (brj ) j = 1, . . . , n
j = 1, . . . , n
AB =
k
r =1 air brj
r = 1, . . . , k
= (cij ) = i = 1, . . . , m
i = 1, . . . , m
j = 1, . . . , n
(AB)t = (cij ) j = 1, . . . , n =
j = 1, . . . , n
k
r =1 air brj
i = 1, . . . , mB t At =
k
r =1 brj air
j = 1, . . . , n
i = 1, . . . , m
= (AB)t
j = 1, . . . , n
i = 1, . . . , m
matriz traspuesta
inversa de una matriz
inversa de una matriz
inversa de una matriz
propiedades
matriz traspuesta
inversa de una matriz
introducción
recordar
clase pasada
definimos 3 operaciones
suma entre matrices: A + B
producto de un escalar poruna matriz: αA
producto entre matrices: AB = BA
propiedades
matriz traspuesta
inversa de una matriz
introducción
elemento neutro
elemento neutro
el elemento neutro de cada una de estas operaciones es:
suma A + O = A
producto por un escalar 1A = A
producto entre matrices:
1 0 ... 0
0 1 ... 0
I= .
.
.
.
.
.
0 0 ... 1
matriz identidadpropiedades
matriz traspuesta
inversa de una matriz
elementos inversos
opuesto
opuesto
el opuesto de A = (aij )
es
−A = (−aij )
propiedades
matriz traspuesta
inversa de una matriz
elementos inversos
inversa respecto del producto
inversa respecto del producto
A ∈ Mn (K) matriz cuadrada n × n
llamamos inversa de A
a una matriz A−1 que cumpla:
A−1 A = AA−1 = I...
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