Yeily

TEORIA DE RENOVACION
* TEORÍA DE RENOVACIÓN:
Es un proceso q ocurre en distintos subconjuntos del espacio muestral, que puede ser definido como una sucesión continua de variables aleatorias el cual, el tiempo que posee en los subconjuntos continuos, no depende de otros tiempos. Este tiempo se genera dentro de un evento (n-i) con una variable aleatoria Xn.
Se dice que cuando un evento esgenerado ocurre en proceso de renovación, en el cual, si se obtiene un tiempo entre cada una de las renovaciones se puede obtener un tiempo total.
* CARACTERÍSTICAS DE LA TEORÍA DE RENOVACIÓN:
* El tiempo en los eventos es totalmente independiente.
* La tasa de promedio y la tasa de llegadas son valores positivos.
* Es una sucesión infinita de variables aleatorias.
* El numero derenovaciones en un tiempo t es mayor o igual a n si y solo si la enésima renovación ocurre en o antes del tiempo t.

* ECUACION DE RENOVACION Y TEOREMAS:
* ECUACION DE RENOVACION:
Sean F(t), g(t) y h(t) funciones definidas para t ≥ 0. Suponga que F(t) y h(t) son conocidas, y g(t) es desconocida. Se dice que g(t) satisface una ecuación de renovación si cumple la ecuación integral:
gt=ht+ otgt-x dFx ∀t≥o
Considere un proceso de renovación propio:
U(t)=n=0∞F*n(t)
Considere ecuaciones de la forma:
Z = z + F *Z;
i.e:
Zt=zt+otZt-xdF(x)
Se supone que z esta acotada sobre intervalos acotados, i.e.
(1) U(t) < ∞ para todo t.
(2) Z = U * z es la única solución con soporte en IR+ que esta acotada sobre intervalos acotados.
* TEOREMAS:
* LIMITE DE UN PROCESO DERENOVACIÓN: Primeramente se demuestra que todo proceso de renovación de conteo crece a infinito con probabilidad uno cuando el tiempo crece a infinito.
PROPOSICIÓN: Para todo proceso de renovación, limt→∞Nt= ∞
DEMOSTRACIÓN: Recordemos la igualdad de eventos Nt ≥n=Wn ≤t, entonces para cualquier n natural:
1= limt →∞Fwn t
= limt→∞P(Wn ≤t)
= limt→∞P(Nt ≥n)
=P(limt→∞Nt ≥n)
Parala última igualdad se ha utilizado el hecho de que la función t →Nt es monótona no decreciente. Como el resultado demostrado vale para cualquier valor de n natural, se tiene que Plimt→∞Nt= ∞=1.

* LARGO PLAZO DE UNA RENOVACIÓN DONDE CADA Μ = E(T ) UNIDADES DE TIEMPO:
PROPOSICIÓN: para un proceso de renovación Nt, en donde E(T) = μ, con 0 < μ < ∞, se cumple:
limt→∞WNtNt= μDEMOSTRACIÓN: Para valores enteros de n, por la ley fuerte de los grandes números, Wn/n → μ casi seguramente cuando n→∞:

Wn n →μ∩Nt → ∞⊆(WNtNt →μ)

* TEOREMA ELEMENTAL DE RENOVACIÓN (J. L. DOOB, 1948): Para un proceso de renovación en donde E(T)= μ, con 0 < μ < ∞, cumple:
limt → ∞Ntt= 1μ
DEMOSTRACIÓN: para cualquier t > 0 se cumple WNt ≤ t <WNt + 1. Por lo tanto:
WNtNt ≤ tNt <WNt+1Nt+1 Nt+1Nt

* TEOREMA ELEMENTAL DE RENOVACIÓN (W. FELLER, 1941): Considere un proceso de renovación en donde E(T) = μ, con 0< μ< ∞. Entonces:
limt → ∞(t)t= 1μ
DEMOSTRACIÓN: Por la identidad de Wald,
EWNt+1=ENt+1 Et=⋀t+ 1μ

* TEOREMA DE RENOVACIÓN (D. BLACKWELL, 1948): Si F(t) es no aritmética, entonces para cualquier h > 0,
limt →∞ ⋀t+h-⋀t= hμ
Si F(t) es aritmética conbase d, entonces para cualquier natural n,
limt → ∞⋀t+nd- ⋀(t)= ndμ

* TEOREMA CLAVE DE RENOVACIÓN. (W. L. SMITH, 1953): Sea A(t) la solución a la ecuación de renovación:
At=Ht+ 0tAt-s dFs,
En donde H: 0, ∞→ R es una función directamente Riemann integrable. Si F(t) es no aritmética:
limt → ∞At= 1μ o∞Htdt
Si F(t) es aritmética con base d, entonces:

limt →oAt+nd= dμ k=0∞Ht+kd.

*PROCESO TRANSITORIO:
Se dice que el proceso markoviano tiene probabilidades de transición estacionarias o que es homogéneo en el tiempo si   P(x, t0; E,t) depende solo de la diferencia t – t0.
Para una cadena de Markov a tiempo continuo las probabilidades de transición son los números pij (t) = P (Xt= j |X0 = i), para cualesquiera estados i y j, y para cualquier tiempo t ≥ 0. Cuando el espacio...