yersy

Representaciones alternativas
Para analizar la sucesión de Fibonacci (y, en general, cualquier sucesión) es conveniente obtener otras maneras de representarla matemáticamente.
Función generadora:Una función generadora para una sucesión cualquiera es la función , es decir, una serie formal de potencias donde cada coeficiente es un elemento de la sucesión. Los números de Fibonacci tienen lafunción generadora

Cuando esta función se expande en potencias de , los coeficientes resultan ser la sucesión de Fibonacci:

Fórmula explícita
La definición de la sucesión de Fibonacci esrecurrente; es decir que se necesitan calcular varios términos anteriores para poder calcular un término específico. Se puede obtener una fórmula explícita de la sucesión de Fibonacci (que no requierecalcular términos anteriores) notando que las ecuaciones (1), (2) y (3) definen la relación de recurrencia

con las condiciones iniciales
 y 
El polinomio característico de esta relación derecurrencia es , y sus raíces son

De esta manera, la fórmula explícita de la sucesión de Fibonacci tendrá la forma

Si se toman en cuenta las condiciones iniciales, entonces las constantes y satisfacenla ecuación anterior cuando y , es decir que satisfacen el sistema de ecuaciones

Al resolver este sistema de ecuaciones se obtiene

Por lo tanto, cada número de la sucesión de Fibonacci puedeser expresado como

Para simplificar aún más es necesario considerar el número áureo

de manera que la ecuación (5) se reduce a
Esta fórmula se le atribuye a Édouard Lucas, y es fácilmentedemostrable por inducción matemática. A pesar de que la sucesión de Fibonacci consta únicamente de números naturales, su fórmula explícita incluye al número irracional. De hecho, la relación con este númeroes estrecha.
Forma matricial
Otra manera de obtener la sucesión de Fibonacci es considerando el sistema lineal de ecuaciones

Este sistema se puede representar mediante su notación matricial como...