Yuresa1987

Unidad 4: Vectores
4.1

Introducci´n
o

En este cap´
ıtulo daremos el concepto de vector, el cual es una herramienta fundamental tanto para la f´
ısica como
para la matem´tica.
a
La historia de los vectores se remonta al a˜o 1843, cuando el matem´tico William Hamilton descubri´ un
n
a
o
nuevo sistema de n´meros que venia a extender el sistema de los n´meros complejos. Eran loscuaternios. As´
u
u
ı
como todo n´mero complejo es de la forma a + bi, un cuaternio es una expresi´n de la forma
u
o
a + bi + cj + dk
donde a, b, c, d son n´meros reales e i, j, k son objetos que satisfacen ciertas reglas bien definidas. Los cuaternios
u
encontraron pronto aplicaciones f´
ısicas interesantes, pero no resultaban f´ciles de manejar. Los f´
a
ısicos Gibbs y
Heaviside a finesde siglo XIX decidieron facilitar la aplicaci´n de los cuaternios de Hamilton tomando de ellos
o
solamente la parte no real, bi + cj + dk. Resultaba as´ un objeto matem´tico que Gibbs lo llam´ vector.
ı
a
o
Comenzaremos el estudio de los vectores en forma geom´trica, el cual es un segmento caracterizado por su
e
longitud (o m´dulo), direcci´n y sentido (u orientaci´n). Posteriormente,estudiaremos los vectores en forma
o
o
o
algebraica, es decir, hablaremos de vectores del plano R2 , espacio R3 , y en general de Rn . Si bien s´lo podemos
o
visualizar vectores en dos y tres dimensiones los vectores de un espacio n − dimensional son utiles para representar
´
y manipular informaci´n eficientemente.
o

4.2
4.2.1

Vectores: enfoque geom´trico
e
Definiciones y notaci´n
oLlamamos magnitud f´
ısica a toda aquella propiedad de un cuerpo que puede ser medida. La masa, el volumen,
la velocidad o la temperatura son magnitudes f´
ısicas. El aroma o la simpat´ puesto que no pueden medirse, no
ıa,
son magnitudes f´
ısicas.
Para muchas magnitudes f´
ısicas, basta con indicar su valor para que est´n perfectamente definidas. As´ por
e
ı,
o C, sabemosperfectamente que tiene fiebre y si Rosa
ejemplo, si decimos que Jos´ tiene una temperatura de 38
e
mide 165 cm de altura y su masa es de 45 kg, est´ claro que es delgada. Cuando una magnitud queda definida
a
por su valor, un n´mero acompa˜ado de una unidad, recibe el nombre de magnitud escalar.
u
n
Otras magnitudes, con su valor num´rico, no nos suministran toda la informaci´n. As´ si nos dicen queDaniel
e
o
ı
corre a 20 km/h apenas sabemos algo m´s que al principio. Deber´ informarnos tambi´n desde donde corre y
a
ıan
e
hacia qu´ lugar se dirige. Estas magnitudes que, adem´s de un valor num´rico, se describen se˜alando tambi´n una
e
a
e
n
e
direcci´n y un sentido se llaman magnitudes vectoriales y se representan mediante vectores. Podemos visualizar
o
un vector (en el plano oen el espacio tridimensional) como un segmento de recta dirigido o una flecha.
As´ cada vector queda identificado por tres caracter´
ı
ısticas fundamentales: m´dulo o longitud, direcci´n y
o
o
sentido.
m´dulo
o
direcci´n
o
sentido
M´dulo de un vector es la longitud del segmento que lo representa.
o
Direcci´n de un vector es la recta a la cual pertenece o cualquier recta paralela a´sta.
o
e
Sentido de un vector est´ dado por la orientaci´n del segmento que lo representa. Cuando lo representamos por
a
o
una flecha, el sentido est´ dado por donde apunta la punta de la flecha
a

61

´
Algebra 2012, 6 de septiembre

−
−
→
→→−
Notaci´n: Usaremos AB para denotar el vector con punto inicial A y punto final B. Usaremos u , v , → o
o
w
u, v, w, para denotar vectorescuyos puntos extremos no est´n especificados a los que denominaremos vectores
a
libres.
→
El m´dulo de un vector se indica con la letra que designa al vector entre barras. As´ el m´dulo del vector v
o
ı,
o
→
se denota v .
→
−
→
−
El vector con m´dulo cero o simplemente vector nulo se lo denota por 0 , 0 o 0 .
o
Si dos vectores tienen la igual direcci´n y m´dulo pero sentido opuesto...