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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE VALPARAISO 
INSTITUTO DE MATEMÁTICA 
 

4ª GUIA DE EJERCICIOS CURSO MAT 217‐01 
 

I)

 
SERIES DE FOURIER 
 Determine el desarrollo en serie de Fourier de las siguientes funciones de periodo  2π  
 
1.

f ( x) = (π 2 − x 2 ) 2

2.

f ( x) = e

3.

, −π ≤ x ≤ π

f ( x) = cos x senx  

, −π ≤ x ≤ π

x

,

,

f ( x + 2π ) = f ( x)  f ( x + 2π ) = f ( x)  

3

4. Sea  f : [0, π ] → ℜ  tal que f ( x) = π cos 4 x +

1

π

senx . Determine un desarrollo de 

Fourier de cosenos en función f 
 

5. Sea f : [0, π ] →ℜ , definida por  f ( x) = máx{0, cos x} . Encuentre un desarrollo de Fourier 
de senos de f 
 
6. Sea 

⎧1 , 1 ≤ x < 2 ⎫
f ( x) = ⎨
⎬ 
⎩3 , 2 ≤ x ≤ 3⎭Encuentre un desarrollo de cosenos de f, que converja al valor 1 en x=0 
 

7. Encuentre un desarrollo en serie de Fourier de cosenos de  f ( x) = sen(πx)

, 0 ≤ x ≤1 

 
8.Utilice método de series de Fourier para hallar (si es que existe) una solución periódica de la 
E.D.L. 
 

y' '+9 y =| senx |  
 

II)

PROBLEMAS DE STURM‐LIOUVILLE 
 
Determine los valores propios y las funciones propias de 

1. y' '+4λy = 0 ,

y(0) = y ' (π ) =0  

2. y' '+(λ + 3) y = 0 ,

y' (0) = 0 ,

3. (e 2 x y ' )'+(λ + 1)e 2 x y = 0 ,

y' (π ) = 0  

y (0) = 0 ,

y (π ) = 0  

4. y' '+λy = 0 ,
III)

y (−1) = 0 ,

y' (−1) = 0   
ECS. DIFERENCIALES PARCIALES  
 
Resuelva: 
1.  

∂ 2u ∂ 2u
=
∂x 2 ∂t 2

, u (0, t ) = 0 , u (π , t ) = 0 ∀t > 0
u ( x,0) = f ( x) (ver fig )
∂u
( x,0) = 0
∂t

 

 
 
                      y 
 
 
 
 
 

π
0
                                 π  

x

2

 
 
 
 
 
2.  

 

∂ 2u 1 ∂ 2u
=
∂x 2 4 ∂t 2

 

,

∂u
∂u
(0, t ) = 0 , (2, t ) = 0 ∀t > 0
∂x
∂x
⎧1si 0 ≤ x ≤ 1
u ( x,0) = ⎨
 
⎩0 si 1 < x ≤ 2

3)

∂ 2u ∂u
=
∂x 2 ∂t

, u (0, t ) = 0 , u (π , t ) = 0 ∀t > 0
u ( x, o) = senx − 3sen(2 x)

IV)...