L Mites

ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL
Límites de sucesiones:
Sea a ∈ R, es el límite de una sucesión (xn ) y se nota por:
l´ım xn = a

n→∞

si (∀ε > 0)(∃N = N (ε))(n > N ⇒ |xn − a| < ε).

Sea I ⊂ R, y sea f :I → R una función.
Límite de una función:
Si a ∈ I, se dice que L ∈ R es el límite de f cuando x tiende hacia a y se nota por:
l´ım f (x) = L

x→a

si (∀ε > 0)(∃δ = δ(ε))(∀x : |x − a| < δ ⇒ |f (x) −L| < ε).

Límites al infinito:
Se dice que L ∈ R es el límite de f cuando x tiende hacia ∞ y se nota por:
l´ım f (x) = L

x→∞

si (∀ε > 0)(∃M > 0)(∀x : x > M ⇒ |f (x) − L| < ε).
Se dice que L ∈ R esel límite de f cuando x tiende hacia −∞ y se nota por:
l´ım f (x) = L

x→−∞

si (∀ε > 0)(∃N > 0)(∀x : x < −N ⇒ |f (x) − L| < ε).

Límites infinitos:
Si a ∈ I:
Se dice que f tiende al infinito, cuando xtiende hacia a y se nota por:
l´ım f (x) = ∞

x→a

si (∀M > 0)(∃δ > 0)(∀x : |x − a| < δ ⇒ f (x) > M ).
Se dice que f tiende al menos infinito, cuando x tiende hacia a y se nota por:
l´ım f (x) = −∞x→a

si (∀N > 0)(∃δ > 0)(∀x : |x − a| < δ ⇒ f (x) < −N ).
Podemos intercambiar a por ±∞.

Límites laterales:
Si a ∈ I:
Se dice que L ∈ R es el límite de f cuando x tiende hacia a por la izquierda y senota por:
l´ım f (x) = L

x→a−

si (∀ε > 0)(∃δ = δ(ε))(∀x < a : 0 < a − x < δ ⇒ |f (x) − L| < ε).

Se dice que L ∈ R es el límite de f cuando x tiende hacia a por la derecha y se nota por:
l´ım f(x) = L

x→a+

si (∀ε > 0)(∃δ = δ(ε))(∀x > a : 0 < x − a < δ ⇒ |f (x) − L| < ε).

Recordar: L = l´ımx→a+ f (x) = l´ımx→a− f (x) ssi l´ımx→a f (x) = L.

Algunos límites
l´ım

1
= 0.
x

l´ım

1
= 0,
xnx→±∞

x→±∞

l´ım

x→0

n > 1.

sin x
= 1.
x

1 − cos x
1
= .
2
x
2
x
k
l´ım 1 +
= ek ,
x→∞
x
l´ım

x→0

k ∈ R.

ln(1 + x)
= 1.
x→0
x
l´ım

Límites de funciones exponenciales
Sea:
l´ım f (x) = L

l´ımg(x) = M.

x→a

x→a

Si L y M existen podemos intercambiar a por ±∞.
a l´ım f (x)g(x) = [ l´ım f (x)][l´ımx→a g(x)] = LM .
x→a

x→a

b l´ımx→a f (x) = L, L > 0, L = 1 y l´ımx→a g(x) = ∞.

 0
l´ım f...