M Ximos Y M Nimos

Máximos y mínimos
Si f está una función de x y y, entonces f tiene un máximo relativo a (a, b) si f(a, b) ³ f(x, y) para toda (x, y) en una pequeña cercanía de (a, b). Un mínimo relativo se define en manera parecida. f tiene un punto de silla en (a, b) si f tiene allí un mínimo relativo a lo largo de un corte y un máximo relativo a lo largo de un otro corte.
La función que se ilustra más abajotiene un mínimo relativo a (0, 0), un máximo relativo a (1, 1), y puntos de silla a (1, 0) y (0, 1).

En los casos que estudiamos, todos extremos relativos y puntos de silla que no sean en la frontera del dominio de f se ocurren a puntos críticos,que son las soluciones de las ecuaciones
fx(x,y) = 0
y
fy(x,y) = 0.
Prueba de segunda derivada para funciones de dos variables 
Si f(x, y) está unafunción de dos variables, y (a, b) es un punto crítico de f. (Esto es, fx(a, b) = 0 y fy(a, b) = 0.) Suponga también que existen y son iguales las derivadas del segundo orden, de modo que, por teoremas de cálculo, fxy es igual a fyx. Sea
H = fxx(a, b)fyy(a, b) -[fxy(a, b)]2.
Entonces
f tiene un mínimo relativo a (a, b) si H > 0 y fxx(a,b) > 0,
f tiene un máximo relativo a (a, b) si H > 0 y fxx(a,b) < 0,y
f tiene un punto de silla a (a, b) si H < 0.
Si H = 0 la prueba no dice nada, entonces necesitamos analizar la gráfica para buscar más información.

Ejemplos
1. Sea f(x, y) = x2 - (y-1) 2. Entonces fx(x,y) = 2x; fy(x, y) = -2(y-1). Para encontrar los puntos críticos, resolvemos la sistema
2x = 0 
-2(y-1) = 0.













Máximos y mínimos restringidos
Un problema restringido deoptimización Tiene la forma
Maximiza (o minimiza) f(x, y,. . . ) sujeta a restricciones.
Las restricciones están en forma de ecuaciones o en forma de restricciones del dominio de f. Podemos resolver estos problemas por primero despejar una de las variables de las ecuaciones de restricción, para después sustituirla en f, y después ubicar el máximo (o mínimo) de la función que resulta. En casos en los que eldominio R de la función resultando tiene una frontera, tenemos también ubicar los extremos de f cuando se está restringido a la frontera.
Multiplicadores de Lagrange 
Para localizar los candidatos a extremos relativos de una función f(x, y, . . .) sujeta a la restricción g(x, y, ...) = 0, se resuelve el siguiente sistema de ecuaciones para obtener x, y, ... y λ:
fx = λgx
fy = λgy
    ...
g = 0
El incógnitaλ se llama un multiplicador de Lagrange. Los puntos (x, y, . . .) que se ocurren in las soluciones son los candidatos a los extremos relativos de la función f sujeta a g = 0.


Bibliografía
http://www.zweigmedia.com/MundoReal/Calcsumm8.html#maxmin







Establecimiento de la condición necesaria para que un punto sea máximo o mínimo relativo.
Planteamiento del problema
Para calcular valoresmáximos o mínimos locales de una función de una variable, es común:
1. Calcular la 1ra. Derivada
2. Igualar la 1ra. Derivada a 0 y a partir de allí, calcular los “puntos críticos”
3. Calcular la 2da. Derivada en los puntos críticos
a) Si la segunda derivada es positiva en el punto crítico, la función tiene un valor
“mínimo local” en tal punto.
b) Si la 2da. Derivada es negativa, en tal punto crítico, lafunción alcanza un
“máximo local” en tal punto.
c) Si la segunda derivada es igual a 0, en el punto crítico, el punto es un punto de
“inflexión”.

Punto critico
En cálculo, un punto crítico de una función de una variable real es cualquier valor en el dominio en donde la función no es diferenciable o cuando su derivada es 0.1 2 El valor de la función en el punto crítico es un valor crítico de lafunción. Estas definiciones admiten generalizaciones a funciones de varias variables, mapas diferenciables entre Rm y Rn, y mapas diferenciables entre variedades diferenciables.
Para funciones de varias variables
En esta sección, se asumirá que las funciones son suaves.
Para una función suave de varias variables reales, la condición de ser un punto crítico es equivalente a que todas...