U 8

8

Soluciones a los ejercicios y problemas
Pág. 1

PÁGINA 180
P RACTICA
Puntos

1

Si los puntos (–6, 2), (–2, 6) y (2, 2) son vértices de un cuadrado, ¿cuál
es el cuarto vértice?
(–2, 6)

P (–2, 2)

(–6, 2)

(2, 2)

P

2

Los puntos (–2, 3), (1, 2) y (–2, 1) son vértices de un rombo. ¿Cuáles son
las coordenadas del cuarto vértice?
(–2, 3)
P

(1, 2)

(–2, 1)

3

P (–5, 2)

Representa los puntosA(3, 1), B(–5, 3), C(1, 2), D (–1, –2), E (–2, –3),
F (5, 0) y halla las coordenadas del punto medio de los segmentos AB , CD y
EF .
B

C
A
D
E

(
)
= ( 1 – 1 , 2 – 2 ) = (0, 0)
2
2
= ( –2 + 5 , –3 + 0 ) = ( 3 , –3 )
2
2
2 2

MAB = 3 – 5 , 1 + 3 = (–1, 2)
2
2
MCD
MEF

Unidad 8. Geometría analítica

F

8

Soluciones a los ejercicios y problemas
Pág. 2

4

Calcula las coordenadas de los puntosmedios
de los lados y de las diagonales del cuadrilátero
ABCD.

A
B

C

D

A(4, 6), B(–2, 3), C (–4, –4), D(5, –2)

(
) ( )
= (– 4 + 5, – 4 – 2 ) = ( 1 , –3)
2
2
2
= ( 4 – 4 , 6 – 4 ) = (0, 1)
2
2

(
) ( )
= ( 5 + 4 , 6 – 2 ) = ( 9 , 2)
2
2
2
= ( –2 + 5 , 3 – 2 ) = ( 3 , 1 )
2
2
2 2

MAB = –2 + 4 , 3 + 6 = 1, 9
2
2
2

MBC = –2 – 4 , 3 – 4 = –3, – 1
2
2
2

MCD

MAD

MAC

5

MBD

Halla, en cada caso, elpunto simétrico de A(–3, –5) respecto de:
a) P(–2, 0)

b) Q(2, –3)

c) O(0, 0)

–3 + x
°—
= –2 8 x = –1 °§
§
–5 + y
§ 2
§
a) –3 + x ,
= (–2, 0); ¢
¢ A'(–1, 5)
–5 + y
2
2
§—
§
=
0
8
y
=
5
§
§
£ 2
£

(

)

–3 + x
°—
= 2 8 x = 7 °§
§
–5 + y
§ 2
§
b) –3 + x ,
= (2, –3); ¢
¢ A'(7, –1)
–5 + y
2
2
§—
§
=
–3
8
y
=
–1
§
§
2
£
£

(

)

–3 + x
°—
= 0 8 x = 3 °§
§
–5 + y
§ 2
§
c) –3 + x ,
= (0, 0); ¢
¢ A'(3,5)
–5
+
y
2
2
§— = 0 8 y = 5 §
§
§
£ 2
£

(

6

)

Si M(–3, 5) es el punto medio del segmento AB, halla el punto B en
cada uno de los siguientes casos:
a) A (–1, 5)

b) A (6, – 4)

c) A (– 4, –7)

(
)
–4 + y
b) ( 6 + x ,
= (–3, 5) 8 x = –12; y = 14 8 B(–12, 14)
2
2 )
–7 + y
c) (– 4 + x ,
= (–3, 5) 8 x = –2; y = 17 8 B(–2, 17)
2
2 )

5+y
a) –1 + x ,
= (–3, 5) 8 x = –5; y = 5 8 B(–5, 5)
2
2

Unidad8. Geometría analítica

8

Soluciones a los ejercicios y problemas
Pág. 3

7

Los segmentos AC y BD tienen el mismo punto medio. Halla las coordenadas del punto D, sabiendo que A (–2, 3), B (–3, –1), C (4, –2).

(

) ( )

MAC = –2 + 4 , 3 – 2 = 1, 1
2
2
2

(

) ( )

–1 + y
= 1, 1
MBD = –3 + x ,
2
2
2

8

–3 + x
°—
=1 8 x=5
§
§ 2
¢
–1 + y 1
§—
=— 8 y=2
§
2
£ 2

°
§
§
¢ D(5, 2)
§
§
£

Comprueba, encada caso, que los puntos dados están alineados:
a) A (1, 2), B (4, 3), C (19, 8)
b) P (–2, –3), Q (2, 0), R (–26, –21)
y –y
y –y
a) 2 1 = 3 2 8 3 – 2 = 8 – 3 8 1 = 5 Cierto.
x2 – x1 x3 – x2
4 – 1 19 – 4
3 15
b) 0 + 3 = –21 – 0 8 3 = 21 Cierto.
2 + 2 –26 – 2
4 28

9

Comprueba, en cada caso, si los puntos dados están alineados:
a) A(–1, 3), B – 5 , 1 , C (– 4, –2)
b) A(1, 0), B(–3, –2), C (5, 2)2 2

(

)

a) 1/2 – 3 = –2 – 1/2 8 5 = 5 Sí están alineados.
–5/2 + 1 – 4 + 5/2
3 3
b) –2 – 0 = 2 + 2 8 –2 = 4 Sí están alineados.
–3 – 1 5 + 3
–4 8

10

Calcula m para que los puntos R(5, –2), S(–1, 1) y T(2, m) estén alineados.
–2 – 1 = m – 1 8 –1 = m – 1 8 m = – 3 + 1 8 m = – 1
5+1
2+1
2
3
2
2

Rectas

11

Halla la ecuación de la recta que pasa por los puntos dados:
a) A (–1, 0), B (0, 3)
b) A(0, –2), B (5, –2)
y – y1
x – x1
y–0 x+1
a)
=
8
=
8 y = 3x + 3
y2 – y1 x2 – x1
3–0 0+1
b)
c)

c) A (–2, 3), B (4, –1)

y+2
y+2 x
= x–0 8
= 8 y + 2 = 0 8 y = –2
5
–2 + 2 5 – 0
0
y–3
= x + 2 8 6(y – 3) = –4(x + 2) 8 6y – 18 = –4x – 8 8
–1 – 3 4 + 2
8 4x + 6y – 10 = 0 8 2x + 3y – 5 = 0

Unidad 8. Geometría analítica

8

Soluciones a los ejercicios y problemas
Pág. 4

12

Escribe la ecuación de lassiguientes rectas:
a) Pasa por (– 4, 2) y su pendiente es 1 .
2
b) Pasa por (1, 3) y su pendiente es –2.
c) Pasa por (5, –1) y su pendiente es 0.
a) y = 2 + 1 (x + 4)
2
b) y = 3 – 2(x – 1)
c) y = –1 + 0(x – 5) 8 y = –1

13

Halla la ecuación de las siguientes rectas:
a) Paralela a y = –2x + 3 y pasa por (4, 5).
b) Paralela a 2x – 4y + 3 = 0 y pasa por (4, 0).
c) Paralela a 3x + 2y – 6 = 0 y pasa...