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Rev.R.Acad.Cienc.Exact.Fís.Nat. (Esp)
Vol. 104, Nº. 1, pp 97-105, 2010
XI Programa de Promoción de la Cultura Científica y Tecnológica

MATEMÁTICAS Y REALIDAD. GEOMETRÍAS NO EUCLÍDEAS Y
UNIVERSO
FERMANDO ETAYO GORDEJUELA *
* Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales. Valverde 22, 28004 Madrid.

... hay matemáticos y filósofos... que dudan si todo el Universo o,
para decirlo de maneramás amplia, toda existencia, fue creada
solo de acuerdo con la geometría euclídea, e incluso se atreven a
soñar que dos rectas paralelas que, de acuerdo con Euclides
nunca se pueden cortar en la Tierra, quizás puedan hacerlo en el
infinito.

F.M. Dostoyevski (1821-1881), en Los hermanos
Karamazov.

INTRODUCCIÓN
El tema objeto de este escrito es de una profundidad
y una complejidad tales que esingenuo pretender
poder dar idea del mismo en unas pocas páginas. Así
que lo que haré será dar un ejemplo significativo
respecto del problema, con la esperanza de que el
lector se pueda sentir atraído por la cuestión y pueda
profundizar en ella de manos mucho más expertas que
las mías. El ejemplo que he escogido ha tenido además
una importancia capital en la historia de las Matemáticas y de laFilosofía de dicha disciplina.
Para empezar a referirnos a la relación entre las
Matemáticas y la Realidad circundante, citemos el
siguiente ejemplo elemental. Un planeta se descubre,
un teléfono móvil se inventa, el teorema de Pitágoras,
¿se inventa o se descubre? La cuestión no es evidente.
Las Matemáticas son una disciplina singular, que
combina la especulación con la aplicación. Las Matemáticas serelacionan con el mundo de dos modos:
Unas veces, el mundo circundante (físico, económico, de cualquier disciplina científica) propone pro-

blemas y las Matemáticas obtienen el modelo que
describe el comportamiento del fenómeno que se trate.
Por ejemplo, ante el problema de cómo representar
fielmente en un cuadro el espacio que rodea al pintor,
nació la Geometría Proyectiva, que da el modelomatemático de la perspectiva. Naturalmente, aquí es
clara la relación entre Realidad y Matemáticas, puesto
que éstas se usan para obtener el modelo matemático
de la correspondiente situación del mundo.
Otras veces las Matemáticas plantean sus propios
problemas, avanzan en sus soluciones y, al cabo de
años e incluso siglos, resulta que esas nociones matemáticas son las que sirven para describirfenómenos
del mundo. Esta adecuación entre Matemáticas y
Realidad es sumamente sorprendente y ha sido objeto
de estudio (y de fascinación) de numerosos autores.
¿Por qué las Matemáticas concuerdan con el mundo
real? Un ejemplo es el de las geometrías no euclídeas.
Nacieron como un problema puramente matemático,
que fue desenvolviéndose en un ambiente puramente
matemático durante veinte siglos. En el XIXse resolvió, y la resolución condujo a otras teorías matemáticas, que fueron imprescindibles para la Cosmología Moderna, la de la Teoría de la Relatividad.

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Fernando Etayo Gordejuela

Vamos a hacer énfasis en el segundo sentido de
relación entre Matemáticas y Realidad. Sin embargo,
comenzaremos por el primero, desarrollando un poco
las ideas básicas de la Geometría Proyectiva. Porque a
lolargo de estas páginas vamos a mostrar que estas
tres cosas que ahora cito están relacionadas:
1.

La representación de objetos en perspectiva.

2.

La existencia de una única paralela por un punto
exterior a una recta.

3.

La forma del Universo.

UN MODELO MATEMÁTICO: LA
GEOMETRÍA PROYECTIVA
La Geometría Proyectiva es un modelo matemático
que nació para explicar las leyes de la perspectiva. En
1435,el arquitecto y pintor florentino Alberti se preguntaba qué se conserva por proyección, si no lo hacen
ni la longitud ni los ángulos? Las leyes de la perspectiva fueron descritas en años posteriores con precisión, aunque el enfoque del tema ha variado con los
siglos desde el ámbito de la Geometría Descriptiva
hasta expresiones matemáticas más abstractas. No es
este el momento de dar una...