03 Matrices

´
Algebra
y Geometr´ıa Anal´ıtica
3-Matrices
Docente: Ernesto Aljinovic

Resumen



A = (aij ) ∈ Cn×m

−→

a11





A=
 ···




···
···
···
aij
···
···
···

a12

···

an1 an2

a1(m−1)

a1m







··· 
 ← fila i




···

an(m−1) anm

↑ columna j

Si A = (aij ), B = (bij ) ∈ Cn×m y k ∈ C, se definen:
t

A + B = (aij + bij )

A∗ = A (adjunta)

k · A = (k aij )

aii = Elementosde la diagonal de A.

At = (aji (traspuesta)

tr(A) =Suma de los elementos de la diagonal de A. (traza)

A = (aij ) (conjugada)

Otras definiciones:
A es antisim´etrica sii −At = A

I = (δij ) ∈ Cn×n (matriz identidad)

S es sim´etrica sii S t = S

A ∈ C1×m (matriz fila)

H es herm´ıtica sii H ∗ = H

A ∈ Cn×1 (matriz columna)

0 = (oij ) con oij = 0 (Matriz nula)
δij =

1 si i = j
(delta deKroneker)
0 si i = j

A ∈ Cn×n (matriz cuadrada)

A = (aij es una matriz diagonal sii aij = 0 cuando i = j
Si A = (aij ) ∈ Cn×m y B = (bij ) ∈ Cm×r , definimos al producto de matrices como
m

A · B = (cij ) ∈

Cn×r

con cij =

aik bkj
k=1

Observaci´on: El producto de matrices no es conmutativo.
Notaci´on: Si A = (aij ) ∈ Cn×n , A2 = A A y An = A An−1

1

Propiedades
Si A, B y C son matrices con lostama˜
nos adecuados para realizar las operaciones y k, k1 y k2 son
escalares, entonces:
A+B =B+A

AB = AB

(A + B) + C = A + (B + C)

(A B)∗ = B ∗ A∗

k(A + B) = k A + k B

(k A)t = k At

(k1 + k2 )A = k1 A + k2 B

kA = kA

(A B)C = A(B C)

(k A)∗ = k A∗

k(A B) = (k A)B = A(k B)

AI = A

A(B + C) = A B + A C

IA = A

(A + B)C = A C + B C

tr(A + B) = tr(A) + tr(B)

(A + B)t = At + B t

tr(k A) =k tr(A)

A+B =A+B

tr(At ) = tr(A)

(A + B)∗ = A∗ + B ∗

tr(A) = tr(A)

(A B)t = B t At

tr(A∗ ) = tr(A)

Si B ∈ Cn×n , entonces existe una u
´nica forma de escribir a B = S + A con S sim´etrica y A
1
1
antisim´etrica y es utilizando S = (B + B t ) y A = (B − B t )
2
2
Si A, B ∈ Cn×n , entonces tr(A B) = tr(B A)

Ejercicios
Ejercicio 1 Escribir las matrices:
a) A = (aij ) ∈ R4×3 con aij = i + 3j1 si i = j
0 si i = j

b) I = (δij ) ∈ R3×3 con δij =

Ejercicio 2 Hallar ejemplos de matrices diagonales, sim´etricas, antisim´etricas y hem´ıticas de
3 × 3.
Ejercicio 3 Sean
A=

5 8 a
−5 0 −3

B=

5a −5 6
0
6 −1

4 + 3i 6 − i
i
−6i

4i
5−i
D =  8 −2 + 4i
i
7
C=

Obtener en caso que sea posible:
2

5
3

3
3 
4

b) 4 C t + D
f ) tr(A) + tr(D)

a) 3 A − 2 B
e) At + C ∗


Ejercicio 4 Sea lamatriz A = 


5

5+i

4 + 9i

c) A − C

d) D + D


i
8 + 2i 2 + 5i 


4

−3
5
Completar los espacios vacios de forma tal que la matriz resulte herm´ıtica. ¿Cuantas
puede construir?
Ejercicio 5 Encontrar matrices A antisim´etrica y S sim´etrica tales que B = A + S para:


4 − i 6 + 2i
3
5 9
3
8 
a) B =
b) B =  4i
7 6
0
−i
1+i
Ejercicio 6 Sean





1 −3
A= 5 0 
4 −1
2+i
1
C=
−i 1 −i


4 −6 2
B =  0 −1 4 
3 1 1

Realizar, en caso que sea posible las siguientes operaciones:
a) A B
e) A3
Ejercicio 7 Si B t At =

b) A C
f ) A At C
5 8 4
−5 0 −3

yC=

c) C C ∗

d ) At B

4 + 3i 6 − i 5
i
−6i 3

, hallar A · B · C.

Ejercicio 8 Sabiendo que A, B y C son matrices cuadradas del mismo orden obtener una
t

expresi´
on equivalente a At B + 2 A∗ B t C − I
tenga a lo sumo unaoperaci´on por matriz.

t

que no tenga par´entesis y que

Ejercicio 9 Sean A, B ∈ Cn×n tales que tr(A) = 2 y tr(B) = −3. Adem´as se sabe que
tr(A B) = 5. Hallar tr 2 At − tr A B + 5 A B − B A
Ejercicio 10 Si A, B, C ∈ Cn×n tales que A B t A +

1 ∗
C = 0, despejar C.
3

Ejercicios de sumatoria
Ejercicio 11 Desarrollar:
8

12

2−j

a)
j=2

15

(−1)j j 2

b)
j=5

c)
j=7
j = 10

Ejercicio 12 Expresar comosumatorias que comienzan con k = 0.

3

1
j!

107

80

5k

a)

b)

k=7

k=−4

1
2
k +1

100

c)

k!
k=1

Ejercicio 13 Expresar como sumatorias que comienzan con k = 1.
107

80

5k

a)

b)

k=7

k=−4

1
2
k +1

100

c)

k!
k=0

Ejercicio 14 Aislar el primer y u
´ltimo t´ermino de las siguientes sumatorias para obtener una
expresi´
on equivalente.
n

n

3k

a)

b)

k=1

k=0

n

1
k!

k3

c)
k=−n...