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1 NUMEROS COMPLEJOS

1.1 Definición y origen de los números complejos.

Todo número complejo (o imaginario) es una expresión de la forma donde es la parte real y es la parte imaginaria. Tanto como son reales, e

Los números complejos aparecen al tratar de resolver ecuaciones del tipo . Despejando a se obtiene que se escribe

El origen de los números complejos seremonta al siglo XVI en que Cardano llamó raíz ficticia a las raíces negativas de una ecuación. Otros matemáticos posteriormente las llamaron raíces falsas o raíces sordas.

En 1572 Rafael Bombelli señaló que eran necesarias las cantidades imaginarias para resolver ecuaciones algebraicas que tuvieran la forma , donde es cualquier número positivo.

El brillante matemático LeonhardEuler designó por a El símbolo expresa en forma precisa una idea abstracta, ya que se puede preguntar ¿Existe algún número que se multiplique por sí mismo y de ?

Los números complejos se pueden graficar en el plano complejo creado por el gran matemático Gauss, quien colocó en el eje la parte , y en el eje la parte es decir, el eje o eje real (Re) representa la parte real de un númerocomplejo y el eje o eje imaginario (Im) la parte imaginaria del número complejo. Otra forma de representar un número complejo es el par real





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Gráfica 1: Representación del número complejo .
 
De acuerdo a la gráfica anterior los números reales están contenidos en los números complejos, ya que en el plano el número complejocoincide con el número real , donde En el caso de los números complejos de la forma son llamados imaginarios puros.


1.2 Operaciones fundamentales con números complejos.

Los números complejos cumplen las reglas del álgebra ya que se pueden sumar, restar, multiplicar, dividir (excepto la división por Antes de ver la suma de númeroscomplejos escribiremos en función de diferentes expresiones:
























Suma de un número complejo

Para sumar dos números complejos se suma primero la parte real del primer número con la parte real del segundo. Luego se suma la parte imaginaria del primer número con la parte imaginaria del segundo. En forma de ecuación queda como sigue:



Por ejemplo:



La sumaanterior se realizó en tres pasos, se recomienda al principio practicar los tres pasos, con un poco de práctica podemos realizar solo dos pasos, cuando tengamos varios ejercicios resueltos podremos aplicar directamente el último paso.
Veamos otros ejemplos con dos pasos:





















Al resolver fracciones es posible hacerlo con la calculadora, en este ejerciciolo haremos paso a paso en forma manual, y así obtenemos un resultado exacto.





Observe que el resultado anterior está en fracciones por lo que es exacto, si usamos decimales el resultado NO es exacto. Veamos el caso de:



En el caso anterior se puede reportar el resultado como: ó ó los cuales no son iguales y NO son exactos. Es por esto que debemos siempre tratar de dar resultados enfracciones (quebrados) y no en decimales. Resolvamos otro ejercicio.









NOTA: Observe que en cada renglón se anota el ejercicio inicial del lado izquierdo.

Resta de un número complejo

Para restar dos números complejos hay dos formas para hacerlo:
La primera es que se le resta a la parte real del primer número la parte real del segundo. Luego se resta a la parte imaginaria delprimer número la parte imaginaria del segundo. En forma de ecuación queda como sigue:




NOTA IMPORTANTE: Observe en las dos ecuaciones anteriores que del lado izquierdo es una resta y del lado derecho queda una suma.

Resolvamos varios ejemplos:





Para resolver el ejercicio anterior se aplicó la ley de los signos  










Resolvamos las fracciones de este ejercicio paso a paso en forma...