10Videos

APUNTS D’ÀLGEBRA LINEAL

(Primer curs de la llicenciatura de Matemàtiques)




G. Mayor


Dept. de Matemàtiques i Informàtica
Universitat de les Illes Balears


















Palma
octubre 2008





ÍNDEX




Preliminars


1. Estructura de cos
2. Polinomis
3. Operacions externes





Espais vectorials. Aplicacions lineals2.1. Definició i exemples. Propietats
2.2. Subespais vectorials d’un espai vectorial. Intersecció i suma de subespais vectorials
2.3. Clausura lineal d’un conjunt finit de vectors. Teorema de Steinitz. Bases i dimensió d’un espai vectorial
2.4. Definició, càlcul i propietats del rang d’una matriu
2.5. Suma directa de subespais vectorials
2.6. Espai vectorial quocient2.7. Aplicacions lineals. L’Àlgebra d’endomorfismes d’un espai vectorial
2.8. L’espai dual d’un espai vectorial. Dualitat i Ortogonalitat
2.9. El Grup Lineal d’un espai vectorial. La Geometria Lineal d’un espai vectorial





Matrius. Equacions Lineals


3.1. Matrius. Representació matricial d’aplicacions lineals
3.2. Equacions lineals. Varietats lineals



Formesmultilineals. Determinants


4.1. Formes multilineals. Formes antisimètriques. Determinants
4.2. Determinant d’una matriu quadrada. Determinant d’un endomorfisme
4.3. Càlcul de determinants: Regla de Laplace. Càlcul del rang d’una matriu
4.4. Sistemes d’equacions lineals. Regla de Cramer





Estructura i classificació d’endomorfismes (diagonalització)


5.1.Vectors i valors propis d’un endomorfisme. Polinomi caracterísitc
5.2. Diagonalització d’endomorfismes
5.3. Aplicacions de la diagonalització







Preliminars



1 L’estructura de cos


Els conjunts dels nombres racionals Q, reals R i complexos C, amb les operacions ordinàries d’addició i multiplicació, són exemples de cossos. Amb això volem dir que cadascun d’aquestsconjunts amb les operacions esmentades presenta diverses propietats que són les que apareixen a la següent definició general.


1 Definició

Sigui K un conjunt dotat de dues operacions, addició (+) i multiplicació (.). Direm que K és un cos si es compleixen les condicions següents:
1. a + b(K i ab(K , (a,b(K (+ i . són operacions internes sobre K)
2. a + b = b + a i ab = ba , (a,b(K(+ i . són operacions commutatives)
3. (a + b) + c = a + (b + c) i (ab)c = a(bc) , (a,b,c(K
(+ i . són operacions associatives)
4. 1. Hi ha un element neutre per a l’addició: a + 0 = 0 + a = a (a(K
2. Hi ha un element neutre per a la multiplicació (distint del neutre de l’addició):
a .1 = 1 . a = a (a(K
5. 1. Per a cada a(K, n’hi ha un altre, – a(K, tal que a + (–a) = (– a) + a = 0.
2. Per a cada a(K, a ( 0, n’hi ha un altre, a-1(K, tal que a.a-1 = a-1.a = 1 Deim que – a es l’oposat de a, i a-1 l’invers de a.

6. a.(b + c) = a.b+ a.c i (a + b).c = a.c + b.c ( . és distributiva respecte de +)

El conjunt N = {1,2,3, ... } dels nombres enters positius no és un cos (amb l’addició i multiplicació ordinàries). Ens fallen les condicions 4.1, 5.1i 5.2.
Observau també que el conjunt Z dels nombres enters no constitueixen tampoc un cos (amb l’addició i multiplicació ordinàries). No es verifica la condició 5.2 (els únics nombres enters que tenen invers són 1 i –1).


2 Exercici


Demostrau que el conjunt Q((2) = {a + b(2 ; a,b(Q} és un cos amb les operacions ordinàries amb nombres reals. Observau que Q ( Q((2) ( R.



4Exercici

Demostrau que el conjunt Z(i) = {a + bi ; a,b(Z} (enters de Gauss) no és un cos amb les operacions ordinàries amb nombres complexos. De les 6 condicions exigides, digau quines se satisfan i quines no.


5 Exemple

Els cossos Q, R i C són exemples de cossos infinits: Q, R i C tenen infinits elements. Hi ha també cossos finits. Uns exemples en són els cossos Zp = {0,1,2, ......