12 Investigación de Operaciones

 TEMA 4
VARIABLES ALEATORIAS

1.- VARIABLES ALEATORIAS. FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN.
FUNCIÓN DE DENSIDAD.

1.1 VARIABLE ALEATORIA
Lo que se pretende con la variable aleatoria es sustituir el espacio
de resultados por uno numérico, para facilitar la comprensión.

DEFINICIÓN
Se llama variable aleatoria a aquella cuyo valor está determinado
por elvalor del experimento.

1.2 TIPOS DE VARIABLES ALEATORIAS
Se llama v.a. discreta a aquella cuyos valores son un nº finito de
números reales distintos.
Se llama v.a. continua a aquella cuyos valores son un intervalo, o
una unión de intervalos sobre la recta de los números reales. Por tanto, puede tomar  valores.

EJEMPLOS
1. Lanzar 2 dados y que la v.a. Xsea la suma de resultados:
La v.a. discreta X es : {2, 3, 4, ......, 12}

2. Sea el experimento: “conocer el tiempo que se tarda en realizar
un cierto trabajo”.
La v.a. continua X toma  valores.

NOTA
Al conjunto de valores que toma la v.a. X se le denomina rango
de X , rg X .

1.3. DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD
Asociamos la v.a. a la probabilidad con la quehacíamos corresponder a cada uno de los resultados, y por tanto, a cada suceso.
Se dice que tenemos una distribución de probabilidad de la v.a. X, cuando asociamos probabilidades a la v.a. que procede de un espacio de resultados probabilizado.

EJEMPLO
Sea el experimento “lanzar una moneda”
 = { cara, cruz }
Sea la v.a. X = nº de caras que obtenemos
Los valores de X son 1 ó 0
Además, P(cara)= P (cruz) = ½
Si hacemos: A = {sacar cara} B = {sacar cruz}
x1= X(A) = 1 P(x1) = P(1) = P(X=1) = ½
x2= X(B) = 0 P(x2) = P(0) = P(X=0) = ½

EJEMPLO
Lanzamos una moneda 10 veces:
X = nº de caras obtenidas.
0  X  10  toma una cantidad de valores finita, luego es de tipo discreto.
Probabilidad de no sacar caras = P(X=0) = (1/2)10
Probabilidadde sacar 1 cara = P(X=1)= (1/2)1 (1/2)9 = (1/2)10
En general:
P(X = x) = (1/2)10

1.4 FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN
Definimos la función de distribución , F , de una v.a. X , como una
función definida para cada nº real x , de la forma :
F(x) = P(X  x) -  x  

Es decir, una función que nos indica la probabilidad de que lav.a. X tome valores menores o iguales al x dado.
Nos indica la probabilidad acumulada desde el extremo inferior del intervalo, hasta el valor x del dominio de la v.a. X
Como F(x) = P(X  x) es una probabilidad y ésta está comprendida entre 0 y 1  0  F(x)  1

PROPIEDADES
1) 0  F(x)  1 , ya vista
2) La función de distribución es no decreciente amedida que crece
x, o sea :
Si x1 < x2  F(x1)  F(x2)
Veámoslo:
Si x1 x2  P(Xx1)  P(Xx2)  F(x1)  F(x2)
3) En la función de distribución se cumple:
lim F(x) = 0 lim F(x) = 1

Veámoslo:
Si x  - P(X-) = P( ) = 0
Si x + P(X+) = P() = 1
4)P(x1< X x2) = F(x2) - F(x1)
Demostración:
Descomponemos el intervalo (-, x2 en (-, x1 (x1, x2,
disjuntos:
F(x2) = P(Xx2) = P(X (-, x2) = P(X (-, x1) + + P(X (x1, x2) = F(x1) + P( x1 < X x2 )
Despejando:
P(x1 < X x2) = F(x2) - F(x1)
5) La función de distribución es siempre continua por la derecha, osea:
F(x) = F(x+) = F(lim (x+)) x

Es inmediata, ya que F(lim (x+)) - F(x) = F(x) - F(x) = 0
F(x) = F(lim(x+)) = F(x+)

Nota: Por la izquierda no tiene por qué ser continua.

1.4.1 FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN DE UNA V.A. DISCRETA
Si la v.a. es discreta, la función de distribución es escalonada, y los saltos del...