12Modelo de Regresión Lineal Multiple MRLM5

Modelo de Regresión Lineal Múltiple
Análisis Econométrico

“Prefiero acertar vagamente que
errar con precisión”

Camilo Vargas Walteros

John Maynard Keynes

Regresión Simple (matrices)
• La siguiente muestra considera la variable
dependiente (Y) y la variable independiente (X)
(X)::

1. Método Matricial

Y
70
65
90
95
110
115
120
140
155
150

1.1 Regresión Simple

•

• La muestra anterior sepuede expresar como:
como:
⎡70 ⎤ ⎡1
⎢65 ⎥ ⎢1
⎢ ⎥ ⎢
⎢90 ⎥ ⎢1
⎢ ⎥ ⎢
⎢95 ⎥ ⎢1
⎢110⎥ ⎢1
⎢ ⎥=⎢
⎢115⎥ ⎢1
⎢120⎥ ⎢1
⎢ ⎥ ⎢
⎢140⎥ ⎢1
⎢155⎥ ⎢1
⎢ ⎥ ⎢
⎢⎣150⎥⎦ ⎢⎣1

10x1

⎡u1 ⎤
80 ⎤
⎢u ⎥
100 ⎥⎥
⎢ 2⎥
⎢u3 ⎥
120 ⎥
⎢ ⎥
⎥
140 ⎥
⎢u4 ⎥
160 ⎥ ⎡ β1 ⎤ ⎢u5 ⎥
+⎢ ⎥
⎥
180 ⎥ ⎢⎣ β 2 ⎦⎥ ⎢u6 ⎥
⎢u ⎥
200⎥
⎢ 7⎥
⎥
220⎥
⎢u8 ⎥
⎢ ⎥
240⎥
⎢u9 ⎥
⎥
260⎥⎦
⎣⎢u10 ⎥⎦
∧

∧

y = X β+ u

•

FUENTE:: Gujarati (2010),
FUENTE
2010), Econometría, P 4343,, Tabla 2.4

Regresión Simple (matrices)
• En la notación “anterior” los estimadores por
MCO en regresión simple son iguales a:
∧

∧

β1 = Y − β 2 X

β2 = ∑
∧

X iYi − n X Y

∑X

2
i

− nX

2

• En notación “matricial” los estimadores por MCO
en regresión simple se encuentran mediante
mediante::
∧

2x1 10x1

10x2

X
80
100
120
140
160
180
200
220
240
260

¿Recuerdas la ecuación
de la regresiónen
notación anterior?

−1
β = (X′X ) X′y

1

Regresión Simple (matrices)
∧

Regresión Simple (matrices)

−1
β = (X′X ) X′y

⎡1
1 ... 1 ⎤ ⎢⎢1
⎡1
(X′X) = ⎢
⎥
⎣ X 1 X 2 ... X 10 ⎦ ⎢...
⎢
⎣1

X1 ⎤
X 2 ⎥⎥ ⎡10
=⎢
... ⎥ ⎢⎣∑ X i
⎥
X 10 ⎦

∑X
∑X

i
2
i

(X′X ) = ⎡⎢

1700 ⎤
1700
322000⎥⎦
⎣
10

⎤
⎥
⎥⎦

⎡Y1 ⎤
1 ... 1 ⎤ ⎢⎢Y2 ⎥⎥ ⎡∑ Yi ⎤
⎡1
X′y = ⎢
=⎢
⎥
⎥
⎣ X 1 X 2 ... X 10 ⎦ ⎢... ⎥ ⎢⎣∑ X iYi ⎥⎦
⎢ ⎥
⎣Y10 ⎦
•Aplica
estas
formulas al ejemplo
ejemplo..

•

⎡1110 ⎤
X′y = ⎢
⎥
⎣205500⎦

¿Qué similitudes encuentras
con el método anterior?

Regresión Simple (matrices)
•

matriz.
(X′X)−1 denota la inversa de una matriz.

•

FUENTE:: Gujarati (2010),
FUENTE
2010), Econometría, P 847
847,, Apéndice B.5

Si el determinante es cero no existe la inversa de una matriz
matriz..

(X′X)−1

Regresión Simple (matrices)Paso 2: Menores de una matriz 2x2
M11 = a22

M12 = a21

M 21 = a12

M 22 = a11

Regresión Simple (matrices)
a ⎤
⎡a
A = ⎢ 11 12 ⎥
⎣a21 a22 ⎦
A = a11a22 − a21a12
Cofactor de una matriz

cij = (− 1)

i+ j

•

− M12 ⎤
⎥
M 22 ⎦⎥

Paso 4: Adjunta de matriz de cofactores
Paso 5: Dividir cada elemento por determinante

M ij

FUENTE:: Gujarati (2010),
FUENTE
2010), Econometría, P 844
844,, Apéndice B.4Regresión Simple (matrices)
− 0,005151⎤
0,975757
−
0
,
005151
0
,0000303 ⎥⎦
⎣

(X′X)−1 = ⎡⎢

∧

−11
β = (X′X ) X′y

Paso 3: Matriz de cofactores de una matriz 2x2

⎡ M11
C=⎢
⎣⎢− M 21

FUENTE:: Gujarati (2010),
FUENTE
2010), Econometría, P 856
856,, Apéndice C.3

Paso 1: Determinante de una matriz 2x2

Pasos para encontrar la inversa de una matriz
matriz::
1. Encontrar el “determinante” de la matrizmatriz..
2. Reemplazar cada elemento de la matriz por su
cofactor para obtener la “matriz de cofactores”
cofactores”..
3. Transponer la matriz de cofactores para obtener
la “matriz adjunta”
adjunta”..
4. Dividir cada elemento de la matriz adjunta por
el determinante.
determinante.
• Encuentra
Encuentra::
•

•

⎡∧ ⎤
∧
− 0,005151⎤ ⎡1110 ⎤ ⎡24,4545⎤ ⎢β1 ⎥
⎡0,975757
=
β=⎢
=
⎥
⎥ ⎢
⎥⎢
∧
⎣− 0,0051510,0000303 ⎦ ⎣205500⎦ ⎣0,5091 ⎦ ⎢⎢ β ⎥⎥
⎣ 2⎦
•

FUENTE:: Gujarati (2010),
FUENTE
2010), Econometría, P 856
856,, Apéndice C.3

2

Regresión Simple (matrices)

Regresión Simple (matrices)
∧

∧

∧

⎡u1 ⎤ ⎡70 ⎤ ⎡1
⎢u ⎥ ⎢ ⎥ ⎢
⎢ 2 ⎥ ⎢65 ⎥ ⎢1
⎢u3 ⎥ ⎢90 ⎥ ⎢1
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢
⎢u4 ⎥ ⎢95 ⎥ ⎢1
⎢u5 ⎥ ⎢110⎥ ⎢1
⎢ ⎥ = ⎢ ⎥−⎢
⎢u6 ⎥ ⎢115⎥ ⎢1
⎢u ⎥ ⎢120⎥ ⎢1
⎢ 7⎥ ⎢ ⎥ ⎢
⎢u8 ⎥ ⎢140⎥ ⎢1
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢
⎢u9 ⎥ ⎢155⎥ ⎢1
⎣⎢u10 ⎦⎥ ⎣⎢150⎦⎥ ⎣⎢1∧

Yi = β 1 + β 2 X i + ui
• En el caso de este ejemplo:
ejemplo:

Yi = 24,45 + 0,51X i
•

Interpreta los coeficientes de regresión simple.
simple.

Regresión Simple (matrices)
∧

de los errores.
errores.

u′u = ∑ ui2

u = y − Xβ

⎡4,8175 ⎤
⎢− 10,3645⎥
⎢
⎥
⎢4,4535 ⎥
⎢
⎥
⎢− 0,7285 ⎥
⎢4,0895 ⎥
[4,8175 − 10,3645 4,4535 − 0,7285 4,0895 − 1,0925 − 6,2745 3,5435 8,3615 − 6,8205]⎢
⎥
⎢− 1,0925 ⎥
⎢−...