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MÉTODOS MATEMÁTICOS (Curso 2011-2012)
Tercer Curso de Ingeniería Aeronáutica
Departamento de Matemática Aplicada II. Universidad de Sevilla

LECCIÓN 4: CÁLCULO DE AUTOVALORES
Introducción

Los autovalores están presentes en muchas cuestiones de orden práctico. Así, por ejemplo, el régimen de enfriamiento de un sólido homogéneo es proporcional al autovalor de módulo más pequeño del
operadorLaplaciano en la región dada por el volumen de dicho sólido, o la frecuencia principal de vibración de una estructura o de un
sólido cualquiera viene dada por la raíz cuadrada del autovalor de
módulo más pequeño del operador de Navier en la región ocupada por el sólido o estructura. El primer autovalor del operador de
Stokes da en ocasiones idea de para qué numero de Reynolds se
desestabiliza el ujobásico de un uido. Los autovalores de estos
operadores se aproximan en la práctica mediante los autovalores de
matrices adecuadas. Estudiamos en esta lección el cálculo de los
autovalores de una matriz.

Índice
1. CUESTIONES DE REPASO

1

2. MÉTODOS NUMÉRICOS PARA EL CÁLCULO DE AUTOVALORES Y AUTOVECTORES
4
2.1.
2.2.
2.3.
2.4.

Introducción . . . . . . .
El método de la potencia
El método de lapotencia
La iteración QR . . . . .

. . . . .
. . . . .
inversa
. . . . .

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4
4
9
11

3. CUESTIONES RELACIONADAS

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4. CUESTIONES Y PROBLEMAS

20

3.1.Localización de autovalores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2. Matrices no diagonalizables y matrices fuertemente no normales . . . . . . . . . . .

17
18

1. CUESTIONES DE REPASO
Recuerde que un autovalor de una matriz A cuadrada es un escalar λ para el cual existe un
vector no nulo v de modo que
Av = λv.
1

Dado un autovalor λ de una matriz A, todos losvectores v que verican la relación anterior reciben el
nombre de autovectores de A asociados al autovalor λ. Asociados a un autovalor dado, hay innitos
autovectores (todos aquéllos proporcionales a uno dado no nulo).
Si λ es autovalor, debe haber un autovector v no nulo que es solución no nula del sistema
homogéneo
(λ I − A)v = 0,
y por tanto es obligado que det(λI − A) = 0 (en otro caso la únicasolución del sistema anterior
sería la nula y λ no sería autovalor). Los autovalores de una matriz A son entonces las raíces de su
polinomio característico
pA (x) = det(xI − A).
Eso asegura que el número de autovalores de A distintos es a los sumo es grado de pA (x) (m si A
es m × m). Si pA (x) tiene raíces multiples, el número de autovalores distintos es estrictamente
menor que m. La multiplicidad decada raíz de pA se conoce como multiplicidad (algebraica) del
autovalor correspondiente. Un procedimiento para calcular los autovalores de una matriz es resolver
la ecuación
pA (x) = 0,
aunque en la práctica sólo es útil para matrices 2 × 2.
Una matriz A de dimensiones m × m se dice que es diagonalizable si hay una base de Rm (o
de Cm ) formada por autovectores de A. Es término"diagonalizable"proviene de que si v1 , . . . , vm
forman una base de Rm y
Avj = λj vj ,
j = 1, . . . , m
la matriz m × m

V = [v1 , . . . , vm ],
cuyas columnas son los vectores v1 , . . . , vm , satisface que

AV = V D

(o V −1 AV = D),

donde D es la matriz diagonal





D=



λ1 0 0
...
0
0 λ2 0
...
0
.. . . . .
..
..
.
.
.
.
.
0 . . . 0 λm−1 0
0 ... 0
0
λm





.



ya que

AV = A[v1 , . . . , vm] = [Av1 , . . . , Avm ] = [λ1 v1 , . . . , λvm ] = V D.
Otra manera de decir que A es diagonalizable es decir que A es semejante a una matriz diagonal. Recuerde que dos matrices A y B son semejantes si existe una matriz U invertible de modo
que A = U BU −1 , y que dos matrices semejantes tienen el mismo polinomio característico (los
mismos autovalores con la misma multiplicidad, por tanto)...