141003vectores 1

F´ısica I
Operaciones con Vectores
Prof. William Quintero
Universidad Central de Venezuela
N´
ucleo Experimental Armando Mendoza
21 de octubre de 2014
Recuerde que esta elecci´on de escala es solo un ejemplo,
usted es libre de elegir la escala que mas conveniente le
parezca.

Los siguientes ejercicios corresponden a operaciones con
vectores en el plano, es decir un espacio de dos dimensiones. Eneste caso un vector puede representarse mediante
dos valores a saber: el m´
odulo o longitud del vector y el
angulo que este forma con la direcci´
´
on positiva del eje x, la
cual denotaremos como x+ . Convendremos que el ´angulo es
positivo si se mide en sentido antihorario y negativo si se
mide en sentido horario. En esta gu´ıa denotaremos al vector
v, cuya longitud es |v| y cuyo ´
angulo con eleje x+ es θ como
v = (|v|, θ). Por ejemplo, el vector (3, 75◦ ) es aquel que mide tres unidades de longitud y forma un ´
angulo de 75◦ por
+
◦
encima del eje x , y el vector (6, −20 ) es aquel que tiene 6
unidades de largo y forma un ´
angulo de 20◦ por debajo del
+
eje x .
T´engase claro que la direcci´
on y el sentido de un vector
en tres dimensiones no pueden representarse mediante un
solo ´angulo, de hecho se necesitan al menos dos. De modo
que un vector en tres dimensiones queda especificado por
un m´ınimo de tres valores: su m´
odulo y dos ´
angulos. El
sistema de coordenadas esf´ericas es un ejemplo ampliamente
conocido que ilustra este punto.

2. Considere las operaciones (a) y (b) de la pregunta anterior. Determine el m´odulo del vector resultante y el
´angulo que el mismo formacon el eje x+ mediante la
aplicaci´on de los teoremas del seno y del coseno.
3. Considere cuatro vectores de la misma longitud a y
tales que a partir del segundo vector cada uno hace un
´angulo de 90◦ respecto al anterior. Muestre que la suma
de estos cuatro vectores es el vector nulo.
4. Considere los vectores A = (8, 20◦ ) y B = (12, 20◦ ).
angulo
¿Cuales ser´an el m´odulo del vector 14 A− 13 By el ´
que este forma con el eje x+ ? ¿Que se obtiene para el
vector 14 A + 13 B?
5. ¿Cual es el m´odulo del vector que se obtiene al sumar
loa vectores v = (4, 30◦ ) y u = (3, 120◦ )?
6. Halle los vectores suma y diferencia de v = (9, 0◦ ) y
w = (13, 180◦ ).

1. Considere los siguientes dos vectores en el plano: v1 =
(2, 45◦ ) cuya longitud es 2 metros y forma un ´angulo
de 45◦ por encima de ladirecci´
on positiva (x+ ) del eje
◦
x y v2 = (2, −30 ) tambi´en de 2 metros de longitud y
que forma un ´
angulo de 30◦ por debajo del eje x+ . Halle
gr´
aficamente los vectores que se indican a continuaci´on:

7. Dados cinco vectores v1 , v2 , v3 , v4 y v5 situados en
un mismo plano, todos de magnitud 7. A partir del
segundo todos hacen un ´angulo de 45◦ con respecto al
vector anterior. Halle elvector resultante. ¿Cu´
ales son
su m´odulo y direcci´on?

(b) v1 − v2
(c) 2v2 − v1

8. Halle el ´angulo entre dos vectores de longitud a cuya
suma tiene tambi´en longitud a.

(a) v1 + v2
(c) 2v1 + v2

Indique al final de cada construcci´
on geom´etrica el
m´
odulo del vector resultante y el ´
angulo que este forma
con la direcci´
on positiva del eje x (deber´
a medirlos con
regla ytransportador). Exprese el vector resultante en
la forma R = (|R|, θ).

9. Dos vectores de magnitud 6 y 9 unidades forman un
´angulo θ entre ellos. Encontrar la magnitud del vector
suma y el ´angulo que estos forman con el vector m´
as
peque˜
no para los casos en que θ vale: (a) 0◦ , (b) 60◦ ,
(c) 90◦ , (d) 150◦ y (e) 180◦ .

Nota: Dado que 2 metros es una longitud demasiado
grande para ser representada en unahoja de papel, cada vector debe dibujarse a una escala adecuada. Por
ejemplo, podemos elegir que cada cinco cent´ımetros representen un metro, entonces un vector de 2 metros
queda representado por uno de 10 cent´ımetros de longitud en la hoja de papel. Si el vector resultante, dibujado seg´
un esta escala (1 metro → 5 cent´ımetros) mide
7 cent´ımetros, ¿Cuantos metros medir´
a en tama˜
no real?...