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CALCULO DIFERENCIAL
Unidad 4 SERIES
4.1 Definición de seria. 4.1.1 Finita. 4.1.2 Infinita.

Una serie es la suma de los términos de una sucesión. Se representa una serie con términos an como  donde n es el índice final de la
serie. Las series infinitas son aquellas donde i toma el valor de absolutamente todos los números naturales, es decir:
Las series convergen o divergen.En cálculo, una   serie diverge si    no existe o si tiende a infinito; puede converger si 
Serie finita
xi = 0 para todo i > n y yi = 0 para todo i > m. En este caso el producto de
Cauchy de   
Por lotanto, para series finitas (que son sumas finitas), la multiplicación de Cauchy es directamente la multiplicación de las series.
Serie infinita

  Primer ejemplo. Para alguna      



                por definición y la fórmula binomial. Dado que, formalmente    se ha demostrado que   

Como el límite del producto de Cauchy de dos series absolutamente convergentes es igual al producto delos límites de esas series (véase debajo), se ha demostrado por lo tanto la fórmula exp(a + b) = exp(a)exp(b) para todo   
Segundo ejemplo. Sea x(n) = 1 para todo, por lo tanto el producto de Cauchy4.2 Serie numérica y convergencia Prueba de la razón (criterio de D´Alembert) y Prueba de la raíz (criterio de Cauchy).
El Criterio de d'Alembert se utiliza para determinar la convergencia odivergencia de una serie de términos positivos cualquiera.
Definiendo con n a la variable independiente de la sucesión, dicho criterio establece que si llamamos L al límite para n tendiendo ainfinito de  
se obtiene un número L, con los siguientes casos:


El criterio de D'Alembert se utiliza para clasificar las series numéricas. Podemos enunciarlo de la siguiente manera:Sea: Tal que:
  f(n) > 0 (o sea una sucesión de terminos positivos) y
  f(n) tienda a cero cuando n tiende a infinito (condición necesaria de convergencia)
Se procede de la siguiente manera:  ...