2.6 Eventos independientes: Regla de Bayes

Sea d un espacio muestral que está formado por los eventos A1, A2, A3,.....,An mutuamente excluyentes, luego,
d = A1ÈA2ÈA3È.....ÈAn



Luego si ocurre un evento B definido en d,observamos que;

B = dÇB = (A1ÈA2ÈA3È.....ÈAn)ÇB = (A1ÇB)È(A2ÇB)È(A3ÇB)È.....È(AnÇB)

Donde cada uno de los eventos AiÇB son eventos mutuamente excluyentes, por lo que

p(B) = p(A1ÇB) + p(A2ÇB) +p(A3ÇB) +......+ p(AnÇB)

y como la p(AiÇB) = p(Ai)p(B½Ai) , o sea que la probabilidad de que ocurra el evento Ai y el evento B es igual al teorema de la multiplicación para probabilidadcondicional, luego;

p(B) = p(A1)p(B½A1) + p(A2)p(B½A2) + p(A3)p(B½A3) + p(An)p(B½An)

Si deseamos calcular la probabilidad de que ocurra un evento Ai dado que B ya ocurrió, entonces;


La expresiónanterior es el teorema de Bayes, que como se observa es una simple probabilidad condicional.

Ejemplos:
1. Tres máquinas denominadas A, B y C, producen un 43%, 26% y 31% de la producción total deuna empresa respectivamente, se ha detectado que un 8%, 2% y 1.6% del producto manufacturado por estas máquinas es defectuoso, a. Se selecciona un producto al azar y se encuentra que es defectuoso,¿cuál es la probabilidad de que el producto haya sido fabricado en la máquina B?, b. Si el producto seleccionado resulta que no es defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido fabricado en lamáquina C?

Solución: Para resolver este problema nos ayudaremos con un diagrama de árbol;


. a. Definiremos los eventos;

D = evento de que el producto seleccionado sea defectuoso (evento quecondiciona)
A = evento de que el producto sea fabricado en la máquina A
B = evento de que el producto sea fabricado por la máquina B
C = evento de que el producto sea fabricado por la máquina CP(B½D) = p(BÇD)/p(D) = p(B)p(D½B)/p(A)p(D½A) + p(B)p(D½B) + p(C)p(D½C)
P(B½D) = (0.26*0.02)/(0.43*0.08 + 0.26*0.02 + 0.31*0.016) = 0.0052/0.04456
=0.116697

b. ND = evento de que el...