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2.2.1. Teoremas sobre Límites
Los siguientes teoremas, que se enuncian sin demostración, señalan importantes propiedades de los
límites de funciones y son al mismo tiempo útiles herramientas que permiten determinar, en muchos
casos, el límite de una función, sin tener que recurrir al empleo directo de la definición.

TEOREMA 2.1 (Unicidad del Límite)
Si Lim f ( x ) = L1 y Lim f ( x ) = L 2 ,entonces L 1 = L 2 .
x→ a

x→ a

En palabras: Si una función tiene límite en un punto a, dicho límite es único.

TEOREMA 2.2 (Algebra de Límites)
Sean: n, un entero positivo; k, una constante real, y f y g funciones tales que Lim f ( x )
x→ a

y

Lim

g (x)

1.

Lim

k = k

(El límite de una constante es la constante).

2.

Lim

x = a

(Límite de la función identidad).

3.

Lim kf ( x ) = k ⋅ Lim

4.Lim

x→ a

x→ a

x→ a

x→ a

x→ a

existen. Entonces:

x→ a

[f

f ( x ) (Todo factor constante puede “sacarse” del límite).

( x ) + g ( x ) ] = Lim

x→ a

f ( x ) + Lim

x→ a

g (x)

(El límite de una suma de

funciones
es la suma de los límites).
5.

Lim

x→ a

[f

( x ) − g ( x ) ] = Lim

x→ a

f ( x ) − Lim

x→ a

g ( x ) (El límite de la diferencia de

funciones
es la diferencia de loslímites).
6.

Lim

x→ a

[f

( x ) ⋅ g ( x ) ] = Lim

x→ a

f ( x ) ⋅ Lim

x→ a

g (x)

(El límite de un producto
es el producto de los límites).

7.

Lim

x→ a

Lim f ( x )
f (x)
= x→ a
siempre que Lim g ( x ) ≠ 0 (El límite de un cociente es
x→ a
g (x)
Lim g ( x )
x→ a

el
límites).

cociente

de

los

8.

Lim

x→ a

[f

( x )]

n

=

[Lim

x→ a

f (x)

]

n

(El límite de una potencia es lapotencia

del
límite)
Consecuencias importantes
L.1. Si Lim f 1 ( x ), Lim f 2 ( x ),..., Lim f n ( x ) , existen, entonces:
x→ a

x→ a

[ f1 ( x ) ±

Lim

x→ a

L.2. Lim

x→ a

x→ a

f 2 ( x ) ± ... ± f n ( x ) ] = Lim

[ f1 ( x ) ⋅

x→ a

f 1 ( x ) ± Lim

x→ a

f 2 ( x ) ± ... ± Lim

x→ a

fn (x) .

f 2 ( x ) ⋅ ... ⋅ f n ( x ) ] = Lim f 1 ( x ) ⋅ Lim f 2 ( x ) ⋅ ... ⋅ Lim f n ( x )
x→ a

L.3. Si n esun entero positivo,

x→ a

x→ a

Lim x n = a n
x→ a

L.4. Como caso particular del límite de un cociente, se tiene: Lim

x→ a

En general, si n es un entero positivo y a ≠ 0 , entonces:

1
1
=
x
a
Lim

x→ a

si a ≠ 0 .

1
1
= n
n
x
a

L.5. (Límite de la función polinómica).

[

]

Lim b n x n + b n −1 x n −1 + ... + b1 x + b0 = b n a n + b n −1 a n −1 + ... + b1 a + b0
x→ a

Esto significa que paracalcular el límite en a de una función polinómica, basta sustituir la
variable x por a.
L.6. (Límite de una función racional)
Si

m y n

Lim
x→a

son enteros positivos,

bn ≠ 0, c m ≠ 0 ,

b n x n + b n −1 x n −1 + ... + b1 x + b 0
c m x m + c m −1 x m −1 + ... + c1 x + c 0

siempre que: c m a

m

=

entonces:

b n a n + b n −1 a n −1 + ... + b1 a + b 0
c m a m + c m −1 a m −1 + ... + c1 a + c 0+ c m − 1 a m − 1 + ... + c 1 a + c 0 ≠ 0 .

El límite en
a
de una función racional (cociente de dos polinomios)
sustituyendo por a la variable x, siempre que no se anule el denominador.

se obtiene

TEOREMA 2.3 (Límite de funciones iguales)
Sean f(x) y g(x) dos funciones definidas en un intervalo I que contiene al punto a y tales
que:
1. f ( x ) = g ( x )
2. Lim g ( x )
x→ a

para todo

x ∈ I ,excepto posiblemente en a.

existe y es L.

Entonces, Lim f ( x ) = L
x→ a

Asi, por ejemplo, las funciones:
 2x 2 − 5x − 3
si x ≠ 3

f ( x) = 
y
x−3
2 si x = 3

puntos del eje real, excepto en el punto a = 3 .

g (x) = 2 x + 1 ,

son iguales en todos los

fig. 2.3.

A pesar de la diferencia entre las dos funciones en
Así que de acuerdo con el teorema 2.3, Lim

x→ 3

x = 3,

f (x) = 7

Lim g( x ) = Lim ( 2 x + 1) = 7 .
x→ 3

x→ 3

Observación:
Si en el ejemplo anterior se evaluara directamente el Lim

x→ 3

Lim

x→ 3

f ( x ) = Lim

x→ 3

f ( x ) , se tendría:

2x2 − 5x − 3
2 (3) 2 − 5 (3) − 3
0
=
=
3 − 3
0
x − 3

Esto sería una incorrecta aplicación del teorema sobre álgebra de límites. ¿Por qué?
0
no es un número real; se conoce en el Cálculo como una forma indeterminada
0
(no...