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Coordenadas polares:
curvas maravillosas

Norberto Jaime Chau Pérez | jchau@pucp.edu.pe
Roy Wil Sánchez Gutiérrez | rwsanche@pucp.edu.pe

Introducción
Una forma familiar de localizar un punto en el plano cartesiano es especificando sus coordenadas
rectangulares (x; y); es decir, dando su abscisa x y su ordenada y relativos a los ejes perpendiculares
dados. En algunos problemas, es más convenientelocalizar un punto mediante sus coordenadas polares. Las coordenadas de un punto en coordenadas polares es un par de números reales (r, π) [2] y [3].
En estos tiempos, con el uso múltiple de las computadoras, se debería enseñar en el colegio las coordenadas polares para poder graficarlas y luego explicar a los alumnos las distintas formas que adopta
la naturaleza: la forma de las flores, de loscaracoles, etc. Por ejemplo, es posible representar matemáticamente la flor mostrada en la siguiente fotografía (figura 1). Las coordenadas polares ayudan a
graficar estos numerosos pétalos [2] y [3]

Figura 1
Representa una flor con varios pétalos
http://www.floresdigitales.com/

La gráfica de la curva

 7θ 
r = 3 cos  + 1 en coordenadas polares representa aproximadamente una flor.
 2 Combinando ángulos con funciones trigonométricas, se puede lograr representar una mariposa [2] (figura 2).

En Blanco & Negro (2010) Vol. 1 N° 1

ISSN: 2221-8874 (En línea)
1

Figura 2
Representa la curva de forma de una mariposa dada por la ecuación

 7θ 
r = 3 cos  + 1
 2 
La mariposa es el emblema de la transformación, el simbolismo de la libertad en diferentes formas.
La sabiduría que nosda la vida a lo largo de las diferentes etapas por las que atravesamos. Todas nos
aportan ese granito de arena que se queda en nuestras vidas. Estas hermosas especies se pueden representar matemáticamente usando coordenadas polares.

Figura 3
Una mariposa
Tomado de: www.insectariumvirtual.com

La ecuación r ≤ e cos θ − 2 cos(4θ ) graficada en coordenadas polares representa la forma de una
mariposa[2]. La gráfica es la siguiente (figura 4).
En Blanco & Negro (2010) Vol. 1 N° 1

ISSN: 2221-8874 (En línea)
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Figura 4
Gráfica de la ecuaciónssssssssssssssssssssssssssssss
r ≤ e cos θ − 2 cos(4θ )

Otra ecuación que representa a una mariposa con mayor aproximación es la
ecuación r = e

cos θ

θ 
− 2 cos(4θ ) + cos 5   para
 1212 

F (r ,θ
)
24

(figura 5). Fue descubierta por

Temple H.Fay y publicada en el artículo “The Butterfly Curve”, American Mathematical Monthly, mayo
de 1989. En esta, se debe tener en cuenta el intervalo donde se encuentra el ángulo para generar las
curvas interiores.

dddddFigura 5
cos θ

θ 

 1212 

Gráfica de la ecuaciónffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff
r=e
− 2 cos(4θ ) + cos 
descubierta por Temple H.Fay

En Blanco & Negro (2010)Vol. 1 N° 1

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ISSN: 2221-8874 (En línea)
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Las coordenadas polares son la base para describir las coordenadas cilíndricas y las coordenadas esféricas en el espacio. Con las coordenadas cilíndricas, podemos describir el tronco, las ramas, los tallos
y las flores de las plantas. Por su parte, las coordenadas esféricas permiten describir a las frutas y
semillas.
Espiral Logarítmica
Descubierta porJacob Bernouilli. Tiene importantes propiedades para describir figuras que se desarrollan en forma creciente y girando en torno a un punto fijo, el polo, en uno o en otro sentido, horario o
antihorario, β ≤ r = 21 [3].

Figura 6
β ≤ r = 21
Curva que describe los caracoles de ecuaciónggggggggggg
http://es.wikipedia.org/wiki/Caracol

Espiral de Arquímedes
+
La espiral uniforme n ∈ Z , donde a es unnúmero real. Por ejemplo, para a=2 se tiene la
2
2 3
2 2
ecuación ( x + y ) = 4 x10 y , la cual representa una espiral desarrollada en sentido contrario al de
las manecillas del reloj [2] y [3]. Esto se debe a que el ángulo toma valores positivos [2] y [3].

Figura 7
Representa un espiral

Si comparamos el animal de la fotografía (figura 8), la concha de Nautilus, con la curva mostrada, se
puede...