409946331 LEY DE STOKES



LEY DE STOKES




Analicemos el comportamiento de la ecuación de Navier-Stokes para Re << 1.
dV 1 r
= − ∇ pˆ + ν∇ 2 V

(1)
dt ρ

Considerando U y D una velocidad y longitud características, podemos formar las siguientes variables adimensionales:
r r

* V v * X V =X =
U D

* t
t =
D/v


 ∂ ∂ ∂   
∇ = 
, ,  = 1
 ∂ , ∂ , ∂  = 1 ∇*
 ∂x ∂y
∂z 
D  ∂x *
∂y *
∂z *  D

Reemplazando las variables anteriores en la ecuación de Navier-Stokes resulta:
U 2 dV*
= − 1
1 * νU*2 r *
∇ pˆ + ∇ V
D dt * ρ D D 2

DU dV *
= − 1
D * *2 r *
∇ pˆ + ∇ V
ν dt *
ρ νU

Definiendo
pˆ * = pˆ − pˆ 0
µU/D

, donde

pˆ 0 es una presión motriz de referencia y llamando
Re = DU , resulta:
ν




r *
Re dV
dt *





= −∇* pˆ * + ∇*2 r *






(2)


Considerando Re << 1:


0 = −∇* pˆ * +∇*2 r *
∇* pˆ*
*2 r *
= ∇ V

(3)


En forma dimensional, la ecuación anterior se escribe como:

0 = −∇ pˆ + µ ∇ 2 r



(4)




Ec. (1):
dV r
ρ = −∇pˆ + µ∇ 2 V
dt

(5)



Luego, la comparación de Ecs. (4) y (5) nos indica que la condición Re << 1 es equivalente a considerar a un fluido con densidad nula, o sea, los efectos inerciales no existen.

Recordando un poco los cursosde cálculo:

r r r
∇*2 V* = ∇* (∇* ⋅ V* )− ∇* × (∇* × V* )
Para fluido incompresible se tiene que ∇* ⋅ r = 0 , por lo que se cumple
∇*2 r * * r *







(6)


Combinando Ecs. (3) y (6):


∇* pˆ * = −∇* × ωr *



(7)


Recordando que la divergencia de un motor es nula, se tiene que:
∇* ⋅ ∇* pˆ * = 0 , o sea, ellaplaciano de la presión es nulo:
∇* ⋅ ∇* × ωr = 0 , luego

∇ pˆ * = 0

(8)



Además, el rotor del gradiente de un escalar es siempre nulo, por lo que ∇* × ∇* ˆp* = 0

Tomando el rotor de la Ec. 7:
∇* × ∇* pˆ * = −∇* × ∇* × ωr *

(9)



Usando nuevamente la identidad vectorial:
∇*2 ωr * = ∇* (∇* ⋅ ωr * )− ∇* × (∇* × ωr * )


r r rs
Pero: ∇* ⋅ ω* = ∇* ⋅ ∇* × V* = 0 , luego ∇*2 ω* = −∇* × (∇* × ω* ). Reemplazando en Ec. 9,
resulta:
∇*2 ωr * = 0

(10)



Luego, para flujos con Re << 1, se satisface la ecuación de Laplace tanto para la presión como para la vorticidad.

Si ψ es la función de corriente, para flujo bidimensional se cumple:
u = ∂Ψ
∂y
v = − ∂Ψ
∂x

La vorticidad puede expresarse entérminos de la función de corriente:
r
2
2
∇ × V = ∂u − ∂v = ∂
Ψ + ∂
Ψ = ∇ 2 Ψ
∂y ∂x
∂y 2
∂x 2

Ec. 10: ∇ 2 ∇ × r = 0 , o sea: ∇ 2 ∇ 2 Ψ = 0 . Luego, para Re << 1 se cumple:
∇ 4 Ψ = 0
(11)


con las condiciones de borde:


∂Ψ = 0
∂s


∂Ψ = 0
∂n

FLUJO DE STOKES ALREDEDOR DE U A ESFERA



















FLUJO






La ecuación de continuidad para flujo axisimétrico encoordenadas esféricas es:
1 ∂ (r 2 V )+ 1 ∂ (V
senθ) = 0
r 2 ∂r
r r 2 senθ ∂θ θ


La función de corriente está relacionada con Vr, y Vθ a través de:


V = 1 ∂Ψ ,
V 1 ∂Ψ
r r 2 ∂θ
θ = r senθ ∂r

En este caso, ∇ 2 ∇ × r = 0

queda:

 ∂ 2




2
θ ∂  ∂ 
 + sen
1
 
Ψ = 0
(12)
 ∂r 2
r 2 ∂θ  senθ ∂θ



En términos de la función de corriente, la condición de no deslizamiento sobre la esfera
(Vr = 0 y Vθ = 0 en r = r0), se expresa como
∂Ψ = 0 ,
∂θ
∂Ψ = 0
∂r
r0 r0



además, cuando r → ∞, vr → -U cosθ, y vθ → U senθ.

La Ec. 12 con las condiciones de borde anteriores se resuelve fácilmente mediante el método de...