58544

´
Universidad de Cadiz
Departamento de Matem´ticas
a

´
MATEMATICAS
para estudiantes de primer curso
de facultades y escuelas t´cnicas
e

Tema 9
Derivabilidad. Aplicaciones. Diferencial de una funci´n en un punto
o

Elaborado por la Profesora Doctora Mar´ Teresa Gonz´lez Montesinos
ıa
a

´
Indice
1. Derivada de una funci´n en un punto. Interpretaci´n geom´trica
o
o
e1

´
2. Derivadas de las funciones elementales. Algebra de derivadas

3

3. Derivaci´n de la composici´n de funciones: la regla de la cadena
o
o

6

4. Derivaci´n logar´
o
ıtmica

10

5. Derivadas sucesivas

11

6. Aplicaciones del c´lculo diferencial. Estudio local de
a
6.1. Crecimiento y decrecimiento de una funci´n . . . . . .
o
6.2. Puntos cr´
ıticos de una funci´n.M´ximos y m´
o
a
ınimos .
6.2.1. Condici´n necesaria de extremo local . . . . . .
o
6.2.2. Condiciones suficientes de extremo local . . . .
6.3. Concavidad y convexidad. Puntos de inflexi´n . . . . .
o
6.4. Problemas de m´ximos y m´
a
ınimos . . . . . . . . . . .

funciones
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
. . . . . . .
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..
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11
12
13
14
14
15
17

7. Diferencial de una funci´n en un punto
o

19

8. Ejercicios propuestos

19

Tema 9

1

1. Derivada de una funci´n en un punto. Interpretaci´n geom´tricao
o
e
El problema geom´trico que origin´ la teor´ de las derivadas, esto es, el C´lculo Diferencial,
e
o
ıa
a
fue la determinaci´n de las tangentes a las curvas. Teniendo en cuenta la figura 1, dada una curva y
o

A

Figura 1: Recta tangente a una curva.

un punto de ella, A, la recta tangente a dicha curva en el punto A es la unica recta que corta a la
´
curva en A.
Ahora bien,la gr´fica de una funci´n es una curva y, como tal, podemos plantearnos el problema
a
o
de calcular la recta tangente a la gr´fica de la funci´n en un punto. Para ello, consideremos una
a
o
funci´n f : D ⊂ R −→ R y sea a ∈ D un punto de modo que existe un n´mero real r > 0 tal que
o
u
(a − r, a + r) ⊂ D.
Centr´monos en la figura 2, en la que podemos ver la representaci´n gr´fica de lafunci´n f . Hemos
e
o
a
o
denotado por t a la recta tangente a la curva y = f (x) en el punto a, que forma un angulo α con la
´
u
horizontal, y se ha dibujado la recta AAh , siendo h > 0 un n´mero real cualquiera suficientemente
peque˜o, siendo A(a, f (a)), Ah (a + h, f (a + h)) y Bh (a + h, f (a)).
n
La pendiente de la recta AAh , que no es m´s que la tangente del angulo que dicha recta formacon
a
´
la horizontal, viene dada por1
mh =

Ah Bh
ABh

=

f (a + h) − f (a)
f (a + h) − f (a)
=
.
a+h−a
h

Cuando h → 0, a + h → a y f (a + h) → f (a), con lo que Ah → A y Bh → A, es decir, la recta AAh
se ir´ aproximando a la recta tangente a la curva y = f (x), t. Por lo tanto, si m es la pendiente de t,
a
esto es, si m = tg α, tendremos que
f (a + h) − f (a)
= m.
h→0h

l´ mh = m ⇐⇒ l´
ım
ım

h→0

En caso de que exista este l´
ımite, se dir´ que la funci´n f es derivable en el punto a, y escribiremos
a
o
f (a + h) − f (a)
= m = f ′ (a).
h→0
h
l´
ım

Si x = a + h –v´ase figura 2–, entonces h = x − a y decir que h → 0 ser´ lo mismo que decir que
e
a
x → a, y la expresi´n anterior ser´ equivalente a esta otra:
o
a
l´
ım

x→a

f (x) −f (a)
= m = f ′ (a).
x−a

Todo lo anterior se resume en la siguiente
1

Dados dos puntos¬ A y B del plano, se denotar´ por AB al segmento de extremos A y B, y la longitud de dicho
a
¬
segmento se escribir´ ¬AB ¬.
a

2

Matem´ticas para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas t´cnicas
a
e

Y

AAh

Ah

f (x) = f (a + h)

t

h→0

f (a)

α Bh

A
h→0...