6_subespacios_vectoriales 1

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ALGEBRA
LINEAL
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GUIA # 6, Subespacios Vectoriales
Facultad de Ingenier´ıa y Ciencias Aplicadas

Problemas de Nivel B´
asico

R

1. En el siguiente problema P4 [x]( ) denota el espacio vectorial de polinomios, con variable x, y
coeficientes en de grado menor o igual a 4. Definamos

R

W1 = {p ∈ P4 :
W2 = {p ∈ P4 :

p(1) + 2p(−1) = 0}
p(x) = a + bx + cx2 + bx3 + ax4 , con a, b, c ∈

R}.

a)Pruebe que W1 , W2 son subespacios vectoriales de P4 .
Soluci´
on:
Para W1 :
Primero notemos que p(x) ≡ 0 ∈ W1 ya que p(1) + 2p(−1) = 0 + 2 · 0 = 0 y por lo tanto W1
es un conjunto no vacio.
Sea p, q ∈ W1 y λ ∈ , veamos que λp + q ∈ W1 , para ello:

R

(λp + q)(1) + 2(λp + q)(−1) = λp(1) + q(1) + 2λp(−1) + 2q(−1)
= λ(p(1) + 2p(−1)) + (q(1) + 2q(−1))
= λ0 + 0 = 0.
Esto demuestra que W1 es cerrado parala suma y ponderaci´on, y por ende W1 es un subespacio vectorial de P4 [x]( ).
Para W2 :
Primero notemos que p(x) ≡ 0 ∈ W2 ya que p(x) = 0 · x4 + 0 · x3 + 0 · x2 + 0 · x + 0.
Sea p, q ∈ W2 y λ ∈ . Como p, q ∈ W2 se tiene que p(x) = a + bx + cx2 + bx3 + ax4 y
q(x) = d + ex + f x2 + ex3 + dx4 . Veamos que λp + q ∈ W2 , para ello:

R

R

λp(x) + q(x) = a + bx + cx2 + bx3 + ax4 + d + ex + f x2 + ex3 +dx4
= (a + d) + (b + e)x + (c + f )x2 + (b + e)x3 + (a + d)x4
Luego el polinomio λp + q tiene la forma de los elementos de W2 . Entonces W2 es no vacio y
cerrado para la suma y la ponderaci´on, por lo tanto es un subespacio vectorial de P4 .
b) Muestre expl´ıcitamente 2 vectores en el subespacio W1 ∩ W2 .
Soluci´
on:
Siempre el subespacio intersecci´on contiene al vector nulo, y notemos que elpolinomio p(x) =
x4 + 3x3 + 3x + 1 satisface las condiciones de los dos espacios y por lo tanto est´a en el espacio
intersecci´on.

1

2. En el espacio de las matrices de orden n × n con coeficientes en el cuerpo de los reales, demuestre que las matrices sim´etricas forman un subespacio vectorial, ¿Qu´e sucede con las matrices
antisim´etricas?

R

3. Sea V = P5 [x]( ) con la suma y la ponderaci´onusuales, y sea S el subespacio de V definido por:
S = {p ∈ V :
a) Demuestre que W = {q ∈ V :

p(1) = p′ (1) = p′′ (1) = 0}

q ′′ (1) = 0} es un subespacio vectorial de V .

b) ¿Es en este caso S ∪ W un espacio vectorial? justifique.


0 1 2
4. Sean R = 0 0 1 y W = {A ∈ M3×3 ( ) : AR = RA}. Demuestre que W es un espacio
0 0 0
subespacio vectorial de M3×3 ( ) con la suma y ponderaci´on usualesde este espacio.

R

R

Soluci´
on:
Considere la matriz


a b c
A = d e f 
g h i
de manera tal que A conmuta con R, es decir:

 
 
 

a b c
0 1 2
0 1 2
a b c
d e f  · 0 0 1 = 0 0 1 · d e f 
g h i
0 0 0
0 0 0
g h i
Lo que se traduce en las siguientes ecuaciones:
d + 2g
e + 2a
f + 2i
g
h
i
g
2g + h
De donde se concluye que g = h = d = 0, a =
conmutan con R tienen la forma:

e
00

=
=
=
=
=
=
=
=

0
a
2a + b
0
d
2d + e
0
0

i = e y b = f . Por lo tanto todas las matrices que

b c
e b
0 e

Por lo tanto el conjunto de matrices que conmuta con R tiene la siguiente forma:

2

 





0 1 0
0 0 1
 1 0 0
W = e 0 1 0 + b 0 0 1 + c 0 0 0 : e, b, c ∈

0 0 1
0 0 0
0 0 0




R

Para ver que es un subespacio vectorial de las matrices de tama˜
no 3 × 3 entoncesverificamos:
a) El espacio es distinto de vac´ıo: si pues R conmuta con ella misma, por lo que el conjunto no
es el conjunto vac´ıo.
b) Es cerrado para la suma: si, de hecho


 
 

e b c
x y z
e+x b+y c+z
0 e b +  0 x y  =  0
e + x b + y
0 0 e
0 0 x
0
0
e+x
es notorio que mantiene la forma pedida.
c) es cerrado para la ponderaci´on: si, en efecto


 

e b c
αe αb αc
α · 0 e b =  0αe αb ∈ W.
0 0 e
0 0 αe
Por lo tanto, W es un subespacio vectorial de las matrices de dimensi´on 3 × 3 con coeficientes
en y las operaciones usuales.

R

5. En cada caso, decida si el conjunto S en un subespacio vectorial del espacio V indicado.
a) S = {f ∈ V : f (c) = 0}, V es el espacio de las funciones continuas definidas en el intervalo
[a, b] y c ∈ (a, b).
b) S = {(x, y, z) :

xyz ≥ 0}, V...