8_razones_trigonometricas_de_cualquier_angulo

0S4MTCR-AR (NL2007).08.qxd

VIII

5/7/07

16:19

Página 17

Razones trigonométricas de cualquier ángulo

Actividades
1

Reduce cada uno de los siguientes ángulos al primer giro e indica el cuadrante al que pertenece
cada uno:

3

a) 600º

a) 0 rad

b) 405º

b) 60º

c) 4 800º
d) Ϫ135º

c) Ϫ60º

e) 1 860º

d) 35º

f ) Ϫ1 110º

e) 160º

g) 1 530º

f ) 250º

Halla las razones trigonométricas directasde los
ángulos de la actividad anterior.

4

Determina aproximadamente los puntos de corte
de los ángulos de la actividad anterior con la circunferencia goniométrica y expresa aproximadamente su seno y coseno.

M a t e m á t i c a s

2

Representa en la circunferencia goniométrica los
siguientes ángulos con ayuda de un transportador.
Utiliza una hoja de papel milimetrado y dibuja
unacircunferencia de 10 cm de radio y toma como
valor unidad esa equivalencia, escala 10:1.

MATERIAL FOTOCOPIABLE / © Oxford University Press España, S. A.

17

0S4MTCR-AR (NL2007).08.qxd

VIII

5/7/07

16:19

Página 18

Razones trigonométricas de cualquier ángulo

Actividades
5

Calcula, en cada caso, las demás razones trigonométricas de:

6

Ϫ2
Sabiendo que sen α ϭ Ϫ y 270º < α < 360º,
5
calcula:
a) cos αa) sen α ϭ 0,433, si 0º < α < 90º

π
b) cos ––– Ϫ α
2

΂

΃

c) tg (π Ϫ α)
d) sec (π ϩ α)

b) cos α ϭ Ϫ0,896, si α ∈ II cuadrante
7

Dibuja cada uno de los siguientes ángulos en la
circunferencia goniométrica, relaciónalos con un
ángulo del primer cuadrante.
a) 1 230º

c) tg α ϭ 0,777, si 180º < α < 270º

b) Ϫ690º

c) 840º

d) 855º

3π
d) cos α ϭ 0,21, si ––– rad < α < 2π rad
2

8

Halla la medidade todos los ángulos α, del
primer giro positivo, que tienen cada una de las
siguientes razones:
a) sen α ϭ 0,78

e) sec α ϭ Ϫ3, si α ∈ II cuadrante

b) cos α ϭ 0,78
c) tg α ϭ 8

M a t e m á t i c a s

d) tg α ϭ Ϫ0,34

18

f ) sen α ϭ 0,683, si α ∈ I cuadrante

e) sen α ϭ 0,101
f ) sec α ϭ 6

MATERIAL FOTOCOPIABLE / © Oxford University Press España, S. A.

0S4MTCR-AR (NL2007).08.qxd

VIII5/7/07

16:19

Página 19

Razones trigonométricas de cualquier ángulo

Solución de las actividades
a)

b)

c)

600º
ϭ 1 giro antihorario ϩ 240º pertenece al
360º
III cuadrante.

3

405º
ϭ 1 giro antihorario ϩ 45º pertenece al
360º
I cuadrante.
4 800º
ϭ 13 giros antihorarios ϩ 120º
360º
pertenece al II cuadrante.

160º

35º
250º

d) 360º Ϫ 135º ϭ 225º pertenece al III cuadrante.
e)

f)

g)

2

a)

b)c)

d)

e)

f)

g)

60º

Ϫ60º

1860º
ϭ 5 giros antihorarios ϩ 60º pertenece
360º
al I cuadrante.
Ϫ1110º
ϭ Ϫ3 giros horarios Ϫ 30º ⇒
360º
⇒ 360º Ϫ 30ºϭ 330º pertenece al IV cuadrante.
1530º
ϭ 4 giros antihorarios ϩ 90º división
360º
del I y II cuadrante.
–
√3
sen 600º ϭ sen 240º ϭ Ϫsen 60º ϭ Ϫ –– ,
2
1
cos 600º ϭ cos 240º ϭ Ϫcos 60º ϭ Ϫ –– ,
2
–
tg 600º ϭ tg 240º ϭ tg 60º ϭ √3
–
√2
sen 405º ϭ sen 45ºϭ –– , cos 405º ϭ
2
–
√2
ϭ cos 45º ϭ ––, tg 405º ϭ tg 45º ϭ 1
2
–
√3
sen 4800º ϭ sen 120º ϭ sen 60º ϭ –– ,
2
1
cos 4 800º ϭ cos 120º ϭ Ϫcos 60º ϭ Ϫ –– ,
2
–
tg 600º ϭ tg 120º ϭ Ϫtg 60º ϭ Ϫ√3
–
√2
sen Ϫ135º ϭ sen 225º ϭ Ϫsen 45º ϭ Ϫ–– ,
2
–
√2
cos Ϫ135º ϭ Ϫcos 45º ϭ Ϫ–– , tg Ϫ135º ϭ
2
ϭ tg 45º ϭ 1
–
√3
sen 1860º ϭ sen 60º ϭ –– , cos 1 860º ϭ
2
1
–
ϭ cos 60º ϭ –– , tg 1 860º ϭ tg 60º ϭ √3
2
1
sen(Ϫ1 110º) ϭ sen Ϫ30º ϭ Ϫ –– , cos (Ϫ1 110º) ϭ
2
–
–
√3
√3
ϭ cos (Ϫ30º) ϭ –– , tg Ϫ1 110º ϭ tg (Ϫ30º) ϭ Ϫ ––
2
3
sen 1 530º ϭ sen 90º ϭ 1, cos 1 530º ϭ
ϭcos 90º ϭ 0, tg 1 530º ϭ tg 90º ϭ ϱ

MATERIAL FOTOCOPIABLE / © Oxford University Press España, S. A.

4

El valor aproximado del coseno es la abscisa y del
seno la ordenada de cada punto de corte:
a) corte de 0 rad ⇒ P(0, 0)
b) corte de 60º ⇒ P(0,5,0,9)
c) corte de Ϫ60º ⇒ P(0,5, Ϫ0,9)
d) corte de 35º ⇒ P(0,8, 0,6)
e) corte de 160º ⇒ P(Ϫ0,9, 0,3)
f ) corte de 250º ⇒ P(Ϫ0,3, Ϫ0,9)

M a t e m á t i c a s

1

19

0S4MTCR-AR (NL2007).08.qxd

VIII

5/7/07

16:19

Página 20

Razones trigonométricas de cualquier ángulo

Solución de las actividades
5

–––––––––
–––––––––
a) cos α ϭ √ 1 – sen2 α ϭ √ 1 – 0,4332 ϭ 0,901.
sen α
0,433
tg α ϭ ––––– ϭ...