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Las fracciones unitarias egipcias (Papiro Ahmes/Rhind)
Artículo principal: Fracción egipcia.
En este papiro adquirido por Henry Rhind en 1858 cuyo contenido data del 2000 al 1800 a. C. además del sistema denumeración antes descrito nos encontramos con su tratamiento de las fracciones. No consideran las fracciones en general, solo las fracciones unitarias (inversas de los naturales 1/20) que se representan con un signo oval encima del número, la fracción 2/3 que se representa con un signo especial y en algunos casos fracciones del tipo n/n+1. Hay tablas de descomposición de 2/n desde n=1 hasta n=101,como por ejemplo 2/5=1/3+1/15 ó 2/7=1/4+1/28, no sabemos por qué no utilizaban 2/n=1/n+1/n pero parece que trataban de utilizar fracciones unitarias menores que 1/n.
Al ser un sistema sumativo la notación es: 1+1/2+1/4 . La operación fundamental es la suma y nuestras multiplicaciones y divisiones se hacían por "duplicaciones" y "mediaciones", por ejemplo 69x19=69x(16+2+1), donde 16 representa 4duplicaciones y 2 una duplicación.
Fracciones sexagesimales babilónicas (documentos cuneiformes)
En las tablillas cuneiformes de la dinastía Hammurabi (1800-1600 a. C.) aparece el sistema posicional, antes referido, extendido a las fracciones, pero XXX vale para 2\times60+2, 2+2\times60-1 ó 2\times60-1+2\times60-2 con una representación basada en la interpretación del problema.
Para calcularrecurrían, como nosotros antes de disponer de máquinas, a las numerosas tablas de que disponían: De multiplicar, de inversos, de cuadrados y cubos, de raíces cuadradas y cúbicas, de potencias sucesivas de un número dado no fijó, etc. Por ejemplo para calcular a, tomaban su mejor aproximación entera a_1, y calculaban b_1=a/a_1 (una mayor y otra menor) y entonces a_2=(a_1+b_1)/2 es mejor aproximación,procediendo igual obtenemos b_2=a/a_2 y a_3=(a_2+b_2)/2 obteniendo en la tablilla Yale-7289 2=1;24,51,10 (en base decimal 1,414222) como valor de a_3 partiendo de a_1=1;30 (véase algoritmo babilónico).
Realizaban las operaciones de forma parecida a hoy, la división multiplicando por el inverso (para lo que utilizan sus tablas de inversos). En la tabla de inversos faltan los de 7 y 11 que tienen unaexpresión sexagesimal infinitamente larga. Sí están 1/59=;1,1,1 (nuestro 1/9=0,111...) y 1/61=;0,59,0,59 (nuestro 1/11=0,0909...) pero no se percataron del desarrollo periódico.
Descubrimiento de los inconmensurables
Las circunstancias y la fecha de este descubrimiento son inciertas, aunque se atribuye a la escuela pitagórica (se utiliza el Teorema de Pitágoras). Aristóteles menciona unademostración de la inconmensurabilidad de la diagonal de un cuadrado con respecto a su lado basada en la distinción entre lo par y lo impar. La reconstrucción que realiza C. Boyer es:
Sean d:diagonal, s:lado y d/s racional que podremos escribirlo como p/q con p y q primos entre sí. Por el teorema de Pitágoras tenemos que d^2=s^2+s^2 , (d/s)^2=p^2/q^2=2, entonces p^2=2q^2 y por tanto p^2 debe ser par ytambién p, y por tanto q impar. Al ser p par tenemos p=2r, entonces 4r^2=2q^2 y 2r^2=q^2, entonces q^2 es par y q también, entonces q es par e impar con lo que tenemos una contradicción.
La teoría pitagórica de todo es número quedó seriamente dañada.
El problema lo resolvería Eudoxo de Cnido (408-355 a. C.) tal como nos indica Euclides en el libro V de Los elementos. Para ello estableció elAxioma de Arquímedes: Dos magnitudes tienen una razón si se puede encontrar un múltiplo de una de ellas que supere a la otra (excluye el 0). Después en la Definición-5 da la famosa formulación de Eudoxo: Dos magnitudes están en la misma razón a/b=c/d si dados dos números naturales cualesquiera m y n, si ma = nb entonces mc = nd (definición que intercambiando el 2º y 3º términos equivale a...