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Unidad 6

Teorema 6.3. Una matriz Q de orden nn es ortogonal, si y sólo si, sus
columnas forman una base ortonormal para Rn.

El teorema 6.3 nos brinda una manera de construir matrices ortogonales
usando conjuntos de vectores ortonormales.

Ejemplo 9
1 0 0


Usando este teorema podemos afirmar que la matriz A =  0 1 0  es
0 0 1


ortogonal pues sus columnas forman una base ortonormalpara R3.

Ejercicio 2
1. Determina si los siguientes vectores son ortonormales o no. Si no lo son,
describe cuál es la propiedad que no se cumple en cada caso:
a) u = (1, 0) y v = (0, 3)
b) u = (2/3, 1/3, 2/3) y v = (–1, 0, 1)
c) u = (1/ 2 , 1/ 2 , 0) y v = (0, 1, 0)
2. Encuentra una base ortonormal para R4(generaliza la base de R3).
 2 / 3 2 / 3 1 / 3 


2 / 3  es ortogonal (utiliza el
3.Determina si la matriz A =  2 / 3 1 / 3
 1 / 3
2 / 3 2 / 3 

teorema 6.3).

6.3. Coordenadas de un vector relativas a una
base ortogonal y a una base ortonormal
En esta sección manejaremos las coordenadas de un vector relativas a una
base ortogonal y a una base ortonormal, veremos sus diferencias entre ellas y

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Álgebralineal
con otras bases cualesquiera. Usaremos el espacio euclideanoRn para nuestros
ejemplos.
Sea B = {(1, –1), (1, 1)}una base ortogonal para R 2. Con x = (x, y) un vector
de R 2. Como B es una base, existen c1 y c 2 escalares, tal que x = (x, y) = c1(1,
–1) + c2(1, 1) de donde tenemos que c1 = (x–y)/2 y c2 = (x+y)/2
En este caso obtuvimos las coordenadas del vector porque conocíamos los
vectores de la base; sin embargo, ¿habrá una manera general de encontrarlas
coordenadas de un vector aun sin conocer explícitamente los vectores de la
base?
El teorema 6.4 nos determina la respuesta:
Teorema 6.4 Sea V un espacio vectorial con producto interno y sea B = {e1,
e2,...,en} una base ortogonal de V. Si u es un vector de V entonces
u=

(u, e n )
(u, e 2 )
(u, e1 )
e1 +
e2 + ... +
e
(e n , e n ) n
(e 2 , e 2 )
(e1 , e1 )

Daremos un ejemplo en R3:

Ejemplo 10Considera el conjunto B = {e = (2, 2, –1), f = (2, –1, 2), g = (–1, 2, 2)}; es
una base ortogonal para R3.
Sea u = (1, 2, –1) un vector de R3, entonces vamos a usar el teorema 6.4,
para encontrar las coordenada del vector u con respecto a la base B.
(u, e) = (1, 2, –1)(2, 2, –1) = 2 + 4 + 1 = 7

(e, e) = (2, 2, –1)(2, 2, –1) = 4 + 4 +1 = 9

(u, f) = (1, 2, –1)(2, –1, 2) = 2 – 2 – 2 = –2

(f, f) =(2, –1, 2)(2, –1, 2) = 4 + 1 + 4 = 9

(u, g) = (1, 2, –1)(–1, 2, 2) = –1 + 4 – 2 = 1 (g, g) = (–1, 2, 2)(–1, 2, 2) = 1 + 4 + 4 = 9
por tanto las coordenadas de u con respecto a B son (u) B = (7/9, –2/9, 1/9);
es decir,
(1, 2, –1) = 7/9 (2, 2, –1) – 2/9 (2, –1, 2) + 1/9 (–1, 2, 2)

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Unidad 6
Sin embargo, ¿pasará lo mismo con las bases ortonormales?
En el caso de las bases ortonormales lasnormas de todos los vectores de
la base es 1, y por tanto las coordenadas de un vector se simplifican como lo
indica el siguiente teorema.
Teorema 6.5. Sea V un espacio vectorial con producto interno y B = {e1,
e2,...,en} una base ortonormal para V. Si u es cualquier vector de V entonces:
u = (u, e1) e1 + (u, e2) e2 + ... + (u, e n)e n
Usaremos el teorema 6.5, para encontrar las coordenadas de unvector con
referencia a una base ortonormal de R3.

Ejemplo 11
Consideremos en R3 el conjunto B formado por los vectores
a = (1 / 2 , 1 / 2, 0) ; b = (0, 0, 1) y c = (1 / 2, 1 / 2, 0) ; este
conjunto constituye una base ortonormal para R3 (ejemplo 8).
Sea x = (2, –4, 1) un vector de R3. Vamos a encontrar las coordenadas de x
con respecto a la base B.
(x, a) = (2, –4, 1) (1 / 2 , 1 / 2, 0)  2 / 2 4 / 2  0  2 / 2
(x, b) = (2, –4, 1)(0, 0, 1) = 0 + 0 +1 = 1
(x, c) = (2, –4, 1) (1 / 2 , 1 / 2, 0)  2 / 2  4 / 2  0  6 / 2
Por tanto las coordenadas de x con respecto a B son (x)B = ( 2 / 2 , 1, 6 / 2 )

Ejercicio 3
1. Considera la base ortogonal B = {e = (2, 2, –1), f = (2, –1, 2), g = (–1, 2, 2)}.
Encuentra las coordenadas con respecto a esta base de los siguientes
vectores:...