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División de polinomios
Artículo principal: División polinomial
La división de polinomios tiene las mismas partes que la división aritmética, así hay dos polinomios P(x) (dividendo) y Q(x) (divisor) de modo que el grado de P(x) sea mayor que el grado de Q(x) y el grado de Q(x) sea mayor o igual a cero, siempre hallaremos dos polinomios C(x)(cociente) y R(x) (resto) que podemos representar:
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tal que:

dividendo = divisor × cociente + resto
El grado de C(x) está determinado por la diferencia entre los grados de P(x) y Q(x), mientras que el grado de R(x) será, como máximo, un grado menor que Q(x).
* ejemplo:
Veamos un ejemplo para:

Que para la realización de la división representamos:

Como resultado dela división finalizada:

Teorema Del Resto: El resto R de la división de un polinomio P(x) por un binomio de forma (x + a) es el valor numérico del polinomio dividendo, sustituyendo "x" por el opuesto de "a" (es decir, por− a). Formalmente puede expresarse como:

Por ejemplo, si

y el binomio divisor es

entonces el resto será, y se obtiene el resto:

Cuando el resto sea igual a cerodiremos que el dividendo es divisible por el divisor, es decir, que la división es exacta.

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Multiplicación de polinomios
]Multiplicación de un polinomio por un escalar
Partiendo de un polinomio P(x), el producto de este polinomio por un escalar k, es un polinomio k P(x), en el cual cada uno de los coeficientes de los del polinomio se hamultiplicado por k.
Si el polinomio es:

Y lo multiplicamos por k:

Dando lugar a:

* Ejemplo:
Partiendo del polinomio:

Lo multiplicamos por 3,

Operando con los coeficientes:

Y tenemos como resultado:

esta operación también puede expresarse del siguiente modo:

Que es la forma aritmética para hacer la operación.
FACTORIZACION
1) Factorar un Monomio:

En este caso se buscan losfactores en los que se puede descomponer el término

15ab = 3 * 5 a b

2) Factor Común Monomio:

En este caso se busca algún factor que se repita en ambos términos

Como puedes ver la literal [ a ], esta en los 2 términos, por lo tanto, ese será tu factor común

a² + 2a = a ( a + 2 )

3) Factor Común Polinomio:

x [ a + b ] + m [ a + b ]

En este caso en ambos términos el factorque se repite es [ a + b ], entonces lo puedes escribir como el factor del otro binomio

x [ a + b ] + m [ a + b ] = ( x + m ) ( a + b )
4) Factor Común por Agrupación de Términos:
En este caso, tienes que ver que término tienen algo en común con otro término para agruparlo
ax + bx + ay + by = 
[ax + bx] + [ay + by]
Después de agruparlo puedes aplicar el Caso 2, Factor Común Monomio
[ax +bx] + [ay + by] = x(a + b) + y(a + b) 
Ahora aplicas el Caso 3, Factor Común Polinomio
x(a + b) + y(a + b) = (x + y) (a + b)

5) Trinomio Cuadrado Perfecto a² ± 2ab + b² = (a + b)²
Se es trinomio cuadrado perfecto cuando cumple la siguiente regla:
☞El Cuadrado del 1er Termino ± 2 Veces el 1er Termino por el 2do + el Cuadrado del 2do Termino 
Factorar: m² + 6m + 9
m² + 6m + 9 
↓…………..↓m..............3
➊ Sacamos la Raíz Cuadrada del 1er y 3er Término
[ m ] y [ 3 ] 

➋ Las Raíces las acomodas dentro de una paréntesis, y las separas con el signo [ + ], este signo se toma del 2do termino del trinomio, y solo falta que al binomio, que se formo le agregues el exponente [ 2 ], con esto te queda un Binomio de la Suma de 2 Términos elevados al Cuadrado
(m + 3)² 
Nota: 
Si el 2do.Signo del Trinomio hubiera sido [ - ], tu Binomio hubiera quedado (m - 3)² 

➌ Ahora aplica la Regla del TCP

(m + 3)² 

El Cuadrado del 1er Termino = m²

[ + ] 2 Veces el 1er Termino por el 2do; [2m] [3] = 6m

[ + ] el Cuadrado del 2do Termino; [3]² = 9 

➍ Junta los Términos

m² + 6m + 9; si es un TCP, ya que cumple la Regla

6) Diferencia de Cuadrados Perfectos: a² - b² = (a - b)...