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DERIVADAS PARCIALES


DERIVADA EN VARIAS VARIABLES


I. INTRODUCCIÓN – MOTIVACIÓN La derivada es un concepto que tiene variadas aplicaciones. Se aplica en aquellos casos donde es necesario medir la rapidez con que se produce el cambio de una magnitud o situación.

Ejemplo Un fabricante planea vender un nuevo producto a U$ 150 la unidad y estima que si invierte “x” milesde dólares en desarrollo e “y” miles de dólares en promoción, los consumidores compran aproximadamente:

¿Cuánto varía la demanda de este producto si se invierte 30 000 soles en desarrollo y 45 000 en promoción?

II. CAPACIDAD A LOGRAR

Analiza situaciones reales haciendo uso derivadas de funciones de varias variables.

III. DESARROLLO TEÒRICO-PRÀCTICO

DERIVADA EN VARIAS VARIABLERecordemos que la gráfica de representa una superficie . Si , entonces el punto está sobre la superficie . El plano vertical interseca a la superficie en la curva (es decir, es la traza de la superficie sobre el plano ) De manera semejante, el plano vertical interseca a la superficie en la curva . Ambas curvas pasan se intersecan en el punto.

Observe que: es la gráfica de lafunción de manera que la pendiente de su recta tangente en el punto es:





es la gráfica de la función así que la pendiente de su tangente en el punto es






De estas observaciones notamos que las derivadas parciales y pueden interpretarse geométricamente como las pendientes de las rectas tangentes a las curvas y en el punto , respectivamente. Estas pueden ser tambiénser vistas como razones de cambio. Es decir, representa la razón de cambio de con respecto a , cuando permanece fija. De manera semejante, representa la razón de cambio de con respecto a , cuando permanece fija.

Definición La derivada parcial de f respecto a x es y la derivada parcial con respecto a es

Es usual encontrar diferentes notaciones para estas. Algunas de ellas son:Ejemplo Halle la derivadas parciales de . Aplique la definición

Veamos







Ejemplo Halle la derivadas parciales de
En el origen de coordenadas

En este caso es conveniente aplicar la definición de derivada en el punto . Ya que si calculamos las derivadas parciales y en ella sustituimos, nos encontramos con una determinación.



REGLA PARA CALCULAR LAS DERIVADASPARCIALES

Para calcular considere a como una constante y derive a con respecto a .
Para calcular considere a como una constante y derive a con respecto a y

Apliquemos esto en el siguiente ejemplo

Ejemplo Para hallemos

En efecto


a. Derivada direccional Suponga que deseamos calcular la tasa de cambio de en el punto en la dirección de un vector unitario arbitrario .Para esto consideramos la superficie con ecuación (la gráfica de) y sea . Entonces el punto está sobre . El plano vertical que pasa por el punto en la dirección del vector interseca a la superficie en la curva . La pendiente de la recta tangente a la curva en el puntoes la tasa de cambio de en la dirección de
Fig 1
Si es otro punto sobre la curva , y si y son las proyecciones sobre elplano de los vectores y , entonces el vector es paralelo al vector , y por consiguiente

Figura 2: derivada direccional en P en la dirección de u

para algún escalar. Así pues,


y la razón de cambio está dada por


y al tomar el límite cunado obtenemos la tasa de cambio instantánea de (con respecto a la distancia) en la dirección de , la cual se llama derivada direccional de en ladirección de .

Definición Sea una función escalar y sean y un vector unitario, entonces la derivada direccional de en en la dirección del vector , está dada por:

Observación: al comparar la definición de derivada parcial con la de derivada direccional (1), podemos notar que si entonces y si se tiene análogamente , es decir, las derivadas parciales son derivadas direccionales en la...