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Páginas: 4 (801 palabras)
Publicado: 2 de diciembre de 2014
Transformada de Laplace
En este documento se analizar´a un tipo especial de transformada integral llamada transformada de Laplace. Utilizaremos esta transformada para resolver E.D.
con coeficientesconstantes y condiciones iniciales.
Definici´
on: Sea f (t) una funci´on definida para t ≥ 0
L{f (t)} =
∞ −s t
e f (t)
0
dt = F (s)
donde s es un par´ametro, se llama la Transformadade Laplace de f (t) siempre
que la integral exista o sea convergente.
Ahora, la definici´on involucra trabajar con una integral impropia por lo cual
∞
b
k(s, t) f (t) dt = l´ım
b→∞ 0
0k(s, t) f (t) dt
donde la funci´on k(s, t) se llama kernel o n´
ucleo de la transformada, al elegir dicha funci´on como e−st obtenemos la transformada integral que estaremos
utilizando.Cuando la integral de la definici´on converge, el resultado es una funci´on de s.
∞
F (s) =
e−s t f (t) dt = l´ım
b
b→∞ 0
0
e−st f (t) dt
Notaci´
on.
Se usa una letra min´
usculapara denotar la funci´on que se transfroma y la letra
may´
uscula correspondiente para denotar su transformada por ejemplo:
L{f (t)} = F (s)
L{g(t)} = G(s)
Ejemplo 1:
Si f (t) = 1 encontrarL{1}.
Aplicamos la definici´on y resolvemos:
1
L{y(t)} = Y (s)
∞
L{1} =
0
1
1
1
e−s t · 1 dt = − e−s t | ∞
ım (− e−s (b) − (− e−s (0) )) =
0 = l´
b→∞
s
s
s
1
1
=
b→∞ s
sl´ım
siempre que s > 0. ( Cuando s > 0, el exponente −sb es negativo y e−sb → 0
cuando b → ∞. La integral diverge para s < 0), donde F (s) = 1s , por lo tanto se
obtuvo que L {1} = 1s .
L esuna transformaci´
on lineal. Para una combinaci´
on lineal de funciones
se puede escribir
∞ −s t
[α
0 e
f (t) + β g(t)] dt = α
∞ −s t
0 e
f (t) dt + β
∞ −s t
0 e
g(t) dtsiempre que ambas integrales converjan para s > c. Por consiguiente se deduce
que
L{α f (t) + β g(t)} = αL{f (t)} + βL{g(t)} = α F (s) + β G(s)
Ejemplos (utilicen el formulario dado en clase):
1. −...
En este documento se analizar´a un tipo especial de transformada integral llamada transformada de Laplace. Utilizaremos esta transformada para resolver E.D.
con coeficientesconstantes y condiciones iniciales.
Definici´
on: Sea f (t) una funci´on definida para t ≥ 0
L{f (t)} =
∞ −s t
e f (t)
0
dt = F (s)
donde s es un par´ametro, se llama la Transformadade Laplace de f (t) siempre
que la integral exista o sea convergente.
Ahora, la definici´on involucra trabajar con una integral impropia por lo cual
∞
b
k(s, t) f (t) dt = l´ım
b→∞ 0
0k(s, t) f (t) dt
donde la funci´on k(s, t) se llama kernel o n´
ucleo de la transformada, al elegir dicha funci´on como e−st obtenemos la transformada integral que estaremos
utilizando.Cuando la integral de la definici´on converge, el resultado es una funci´on de s.
∞
F (s) =
e−s t f (t) dt = l´ım
b
b→∞ 0
0
e−st f (t) dt
Notaci´
on.
Se usa una letra min´
usculapara denotar la funci´on que se transfroma y la letra
may´
uscula correspondiente para denotar su transformada por ejemplo:
L{f (t)} = F (s)
L{g(t)} = G(s)
Ejemplo 1:
Si f (t) = 1 encontrarL{1}.
Aplicamos la definici´on y resolvemos:
1
L{y(t)} = Y (s)
∞
L{1} =
0
1
1
1
e−s t · 1 dt = − e−s t | ∞
ım (− e−s (b) − (− e−s (0) )) =
0 = l´
b→∞
s
s
s
1
1
=
b→∞ s
sl´ım
siempre que s > 0. ( Cuando s > 0, el exponente −sb es negativo y e−sb → 0
cuando b → ∞. La integral diverge para s < 0), donde F (s) = 1s , por lo tanto se
obtuvo que L {1} = 1s .
L esuna transformaci´
on lineal. Para una combinaci´
on lineal de funciones
se puede escribir
∞ −s t
[α
0 e
f (t) + β g(t)] dt = α
∞ −s t
0 e
f (t) dt + β
∞ −s t
0 e
g(t) dtsiempre que ambas integrales converjan para s > c. Por consiguiente se deduce
que
L{α f (t) + β g(t)} = αL{f (t)} + βL{g(t)} = α F (s) + β G(s)
Ejemplos (utilicen el formulario dado en clase):
1. −...
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