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´ ´ ANALISIS MATEMATICO

Notas Te´ricas o y Problemas Propuestos

Departamento de An´lisis Matem´tico a a UNIVERSIDAD DE VALLADOLID

Introducci´n o
Estas notas, que se ofrecen al estudiante, constituyen un resumen de los contenidos de la asignatura An´lisis Matem´tico impartida por el Departamento de An´lisis Matem´tico a a a a y Did´ctica de la Matem´tica en el primer cursodel Grado en F´ a a ısica de la Universidad de Valladolid. Cada tema consta de dos partes: en la primera de ellas se presentan las definiciones, propiedades y resultados indispensables correspondientes a la teor´ que se estudia en dicho ıa tema; la segunda incluye enunciados de algunos ejercicios, de dificultad variable, que se proponen al alumno para su resoluci´n. o Por supuesto, estas notas nopretenden sustituir a los textos cl´sicos que aparecen rea comendados en la bibliograf´ La habilidad en la resoluci´n de problemas se adquiere unicaıa. o ´ mente dedicando a ello esfuerzo y tiempo, por lo que el alumno no debe contentarse con intentar los problemas aqu´ propuestos, sino que debe acudir a los numerosos libros sobre la ı materia que se encuentran editados. Por ultimo, quisiera dejarconstancia de mi agradecimiento a todos los profesores del ´ Departamento que han contribuido en la redacci´n de estas notas, y muy especialmente a o M. Paz Nieto Salinas, Dionisio Garc´ Conde y Luis A. Trist´n Vega. El m´rito de estos ıa a e apuntes es suyo.

El profesor de la asignatura. F´lix Galindo Soto e

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Cap´ ıtulo 1 Generalidades. N´ meros reales. u
1.1. Conjuntos. Relaci´n deorden o

Esta primera secci´ nest´ destinada a presentar los conceptos b´sicos de la Teor´ de o a a ıa Conjuntos, estableciendo la notaci´n y terminolog´ que ser´n utilizadas posteriormente. o ıa a Partiremos del concepto de conjunto en su acepci´n intuitiva de colecci´n de objetos, o o sus elementos. Admitiremos la existencia de conjuntos y, en particular, la existencia de un conjunto denominadoconjunto vac´ y denotado por Ø, caracterizado por carecer de ıo elementos. Supondremos asimismo al lector familiarizado con la terminolog´ y los conceptos b´sicos ıa a tales como pertenencia, inclusi´n, uni´n, intersecci´n, producto cartesiano, etc., y sus propiedades o o o elementales. Representaremos los conjuntos por letras may´sculas (A, B, X, . . .) y sus elementos por u letras min´sculas(a, b, c, x, y, z, . . .). En relaci´n con ellos, algunas notaciones son: u o x ∈ A: x pertenece a A ´ x es un elemento de A. o x ∈ A: x no pertenece a A. / A ⊂ B: El conjunto A est´ contenido o incluido en el conjunto B. Se dice tambi´n que a e A es un subconjunto de B. 1

´ CAP´ ITULO 1. GENERALIDADES. NUMEROS REALES. A ⊂ B: A no est´ contenido en B. a A ∪ B: Conjunto uni´n de A y B. o A ∩ B:Conjunto intersecci´n de A y B. o CA = {x ∈ E/x ∈ A}: Conjunto complementario de A en E. / A × B: Producto cartesiano de A y B.

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Definici´n 1.1.1 Sea A un conjunto no vac´ Una relaci´n en A es un subconjunto R del o ıo. o producto cartesiano A×A. Si a, b ∈ A se dice que a est´ relacionado con b (por la relaci´n a o R) si el par (a, b) pertenece a R y se escribe aRb. Definici´n 1.1.2 Sea A unconjunto no vac´ Una relaci´n en A es de orden, y la repreo ıo. o sentaremos por ≤, si verifica las siguientes propiedades: i) Propiedad reflexiva: a ≤ a para cualquier a ∈ A. ii) Propiedad antisim´trica: Si a, b ∈ A, a ≤ b y b ≤ a entonces a = b. e iii) Propiedad transitiva: Si a, b, c ∈ A, a ≤ b y b ≤ c entonces a ≤ c. La relaci´n de orden se dice que es total si dados cualesquiera a, b ∈ A setiene que o bien o a ≤ b o bien b ≤ a. Definici´n 1.1.3 Se llama conjunto ordenado a todo conjunto no vac´ dotado de una o ıo relaci´n de orden. o Si la relaci´n de orden es total se dice que el conjunto est´ totalmente ordenado. o a Notaci´n: Para una relaci´n de orden, si a, b ∈ A y se tiene que a ≤ b y a = b, se escribe o o a < b o b > a. Definici´n 1.1.4 Sea A un conjunto ordenado y B ⊂ A, B = Ø....