Activad Ponderacion

Titulo: MÁXIMOS

Y MÍNIMOS DE UNA

FUNCIÓN
Año escolar: MATEMATICA 1
Autor: José Luis Albornoz Salazar
Ocupación: Ing Civil. Docente Universitario
País de residencia: Venezuela
Correo electrónico: martilloatomico@gmail.com

El autor de este trabajo solicita su valiosa colaboración en el
sentido de enviar cualquier sugerencia y/o recomendación a la
siguiente dirección :martilloatomico@gmail.com
Igualmente puede enviar cualquier ejercicio o problema que
considere pueda ser incluido en el mismo.
Si en sus horas de estudio o práctica se encuentra con un
problema que no pueda resolver, envíelo a la anterior dirección y
se le enviará resuelto a la suya.
Máximos y mínimos de una función

Ing. José Luis Albornoz Salazar - 0 -

MÁXIMOS Y MÍNIMOS
DE UNA FUNCIÓN

LaFIGURA 1 presenta la parábola f(x) = X2 – 4X + 5 y un segmento
de la recta tangente en (3,2)
12

Antes de abordar este aspecto, es bueno recordar cómo encontrar
la recta tangente a una función con la utilización de la derivada primera y
que significado gráfico tiene el signo de la pendiente de dicha recta.

10

8

Ejemplo 1 : Encuentre la recta tangente a la parábola f(x) = X2 – 4X + 56

Y = 2X – 4

en el punto (3,2).
4

Solución: Inicialmente se calcula la derivada primera de la

2

función f(x) = X2 – 4X + 5

0

f´(x) = 2X – 4

-2

;

f´(3) = 6 – 4

;

f´(3) = 2

Así, la recta tangente en (3,2) tiene pendiente 2. De la forma
punto-pendiente de la ecuación de una recta, y – y1 = m(x – x1), se
obtiene :
y – 2 = 2(x – 3)

:

y – 2 = 2x – 6;

0

1

4

5

6

7

FIGURA 1

Ejemplo 2 : Encuentre la recta tangente a la parábola f(x) = X2 – 4X + 5
en el punto (1,2).

Solución: Inicialmente se calcula la derivada primera de la
función f(x) = X2 – 4X + 5

f´(x) = 2X – 4
para calcular la pendiente de la recta tangente solo debemos introducir el
valor de X del punto señalado en la ecuación de la derivada primera.
ComoX = 1 en dicho punto:
f´(1) = 2(1) – 4

Máximos y mínimos de una función

3

-4

Y = 2X – 4

El hecho de que la pendiente de una recta tenga signo positivo
(m>0) significa que está inclinada hacia arriba en sentido anti horario con
respecto al eje horizontal (eje x) como se muestra en la figura siguiente:

2

-2

para calcular la pendiente de la recta tangente solo debemosintroducir el
valor de X del punto señalado en la ecuación de la derivada primera.
Como X = 3 en dicho punto:
f´(3) = 2(3) – 4

-1

;

f´(1) = 2 – 4

;

f´(1) = – 2

Ing. José Luis Albornoz Salazar - 1 -

Así, la recta tangente en (1,2) tiene pendiente – 2 . De la forma
punto-pendiente de la ecuación de una recta, y – y1 = m(x – x1), se
obtiene :
y – 2 = – 2(x – 1)

:

y – 2 =– 2x + 2

;

Y = – 2X + 4

El hecho de que la pendiente de una recta tenga signo negativo
(m0).
Para estudiar la pendiente de la recta tangente cuando x = 1 ,
sustituyo este valor en la ecuación de la derivada primera f´(x) = – 2X

f´(1) = – 2(1)

Posteriormente calculamos la pendiente de la tangente después del
número crítico, puede ser en x = 1 en este caso y la graficamos sobrela
recta anterior (como dió negativo “ – 2 “ debemos recordar lo enunciado
en la pág. 2)

f´(1) = – 2

;

Esto nos indica que después del punto crítico la pendiente de la
recta tangente es negativa (m0).

Solución: Inicialmente se calcula la derivada primera de la
función f(x)

f´(x) = 3X2 – 3
Los números críticos son aquellos donde la derivada primera es
igual a cero o no existe.3X2 – 3 = 0 ; 3X2 = 3 ; X2 = 3/3 ; X2 = 1 ; X = ± 1
Esto significa que existen dos números críticos, es decir cuando
X=1 y cuando X = – 1

–2

–1

0

Para estudiar la pendiente de la recta tangente cuando x = 0 ,
sustituyo este valor en la ecuación de la derivada primera f´(x) = 3X2 – 3

f´(0 ) = 3(0)2 – 3 ; f´(0) = 3(0) – 3 ; f´(0) = – 3
Esto nos indica que después del punto...