ADA2

Preparatoria Estatal No. 8 “Carlos Castillo Peraza”

BLOQUE 3

ADA 1

David Alejandro Gutierrez Diaz, Karla Andrea Jiménez Alcocer, Laura Vanessa Jiménez Juárez, Karen Aremi Zapata Escalante

Mtra. María del Rosario Raygoza Velázquez








Matemáticas II

TRIANGULOS SEMEJANTES
La semejanza1, y en especial la de los triángulos, tienen una gran importancia ynumerosas aplicaciones en problemas reales. Gracias a la semejanza de triángulos pueden calcularse distancias desconocidas y puntos inaccesibles con la ayuda de medidas conocidas o fáciles de calcular. Con este auxiliar podremos realizar:
Cálculos de la altura de un objeto vertical a partir de su sombra
Cálculos de la altura de un objeto vertical con un espejo
Determinar las dimensiones de un objetosemejante a otro
Los siguientes dibujos ilustran diversas maneras, utilizadas habitualmente por los guías y exploradores, para estimar alturas y distancias, recurriendo a la semejanza de triángulos.
En la figura de abajo es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del árbol reflejado en el espejo.Imágen 1 Ejemplo de escala


En la siguiente figura, la persona con el brazo estirado utiliza e dedo pulgar para ubicar 2 puntos sobre el edificio, mirando primero con un ojo y después con el otro. Para estimar la distancia entre ambos puntos, multiplico por 10 para obtener una estimación de la distancia que los separa del edificio.Imágen 2 Ejemplo de escala
Ejemplo 1
En la figura, el segmento DE es paralelo a AB.
a) Justifica que el triángulo ABC es semejante al triangulo EDC
b) Calcula los segmentos DE y DC








Solución:
a) El triángulo ABC y EDC son semejantes, ya que tienen el Angulo C en común; además como el segmento DE es paralelo a AB, entonces los ángulos ABC y EDC son correspondientes entre lasparalelas y por lo tanto, congruentes. Es así que se cumple el criterio “ángulos iguales” de la semejanza en triángulos.
b) Para calcular los segmentos DE y DC, debemos considerar que los triángulos ABC es semejante a EDC, por lo que tenemos que sus lados son proporcionales, cumpliendo una razón de semejanza, de tal manera que:



Sustituyendo los valores de los segmentos obtenemos:




Despejando, ED= DE = 5.33.


Ahora hallemos DC:




Sustituyendo los valores de los segmentos obtenemos:




Que al desarrollar y despejar 12DC + 4(12) = 18DC, 6DC = 48, donde DC = 8


Ejemplo 2
En la figura, MN // QP,









a) ¿Son semejantes los triángulos?

Solución:
a) Son semejantes porque tienen un par de ángulos iguales, ya que son opuestos por el vértice, y además los segmentos2 MO y OP, así como NOy OQ son proporcionales, pues OQ sobre NO es igual a 6cm sobre 8cm que es igual a 0.75 y OP sobre OM es igual a 7.95 cm sobre 10.6 cm que es igual a 0.75 por lo que cumplen la misma razón de semejanza OQ sobre NO es igual a OP sobre OM, por lo tanto los triángulos son semejantes al cumplir el criterio de semejanza “un ángulo y los lados que los forman son proporcionales”.

Ejemplo 3
¿Puedeshallar los ángulos que faltan en cada triangulo?










Solución:
Existen varias maneras para hallar los ángulos, una de ellas es analizar si los triángulos son semejantes. Veamos so los lados homólogos son proporcionales:



Tienen la misma razón de semejanza, por lo tanto, el triángulo ABC es semejante al A`B`C`, ya que cumple el criterio de semejanza de los tres lados proporcionales, enconsecuencia los ángulos son congruentes, de modo que el ángulo A = A` = 24º, ángulo B = B` = 125º, donde 24º + 125º + ángulo C = 180 º (suma de los ángulos internos de un triángulos), despejando el ángulo C = 31º.


Ejemplo 4
Sabiendo que Luisa tiene una altura de 1.62 m, halla la altura del poste de luz, si ella se ubica a 1 m de distancia y proyecta una sombra de 1.5 m.

Solución:
Ya que Luisa se...