adasdadasdadsadasd


MÈTODES NUMÈRICS PER RESOLDRE EQUACIONS

MATEMÀTIQUES
1R TRIMESTRE



PAU SABIO I PAU BOSCH
2N BATX
SUSANA BURRIEL

Mètodes numèrics per resoldre equacions.
Les eines de què disposes per resoldre l’equació x4 + x3 - x2 - 2x - 2 = 0 manualment són:
la regla de Ruffini, les identitats notables, la fórmula de l’equació de segon grau i treure factor comú. Cap d’aquestes eines etpermetran resoldre aquesta equació, i no perquè no tingui solució.

Intenta resoldre l’equació anterior pel mètode de Ruffini.

1 1 -1 -2 -2 1 1 -1 -2 2 1 1 -1 -2 2 1 1 -1 -2 2

1 1 2 1 -1 -1 -1 0 1 1 -2 -2 2 -2 8 2 2 6 10 -16
1 21 -1 -3 1 0 -1 -1 3 1 -1 1 -4 10 1 3 5 -8 -14


Accedeix a la calculadora WIRIS i troba les solucions de l’equació anterior.
Representa gràficament la funció f(x) = x4 + x3 - x2 - 2x- 2.












Quines solucions ens ha trobat?



Quina relació tenen amb la gràfica de la funció?Les solucions de f(x) són els punts de tall amb l’eix d’abscisses.
La calculadora Wiris utilitza uns mètodes anomenats mètodes numèrics de resolució d’equacions per resoldre equacions complicades. Podríem dir que aquests mètodes consisteixen en anar provant amb diferents valors, obtenint en cada pas un nombre cada vegada més proper a la solució.

El mètode més senzill s’anomena mètode debisecció i es basa en el Teorema de Bolzano. Aquest teorema diu: donada una funció contínua en un interval [a , b] tal que la imatge de a, i la de b siguin de signe diferent, existeix aleshores un valor c entre a i b tal que la imatge de c és 0. O dit d’una altra manera si una funció contínua té un punt per sobre de l’eix d’abscisses i un altre per sota segur que entre mig la gràfica tallaràl’eix d’abscisses. (Presta atenció a un detall important: la funció ha de ser contínua).

El punt de partida és l’equació i dos valors, un que doni positiu i un altre que doni negatiu. Per exemple considerem l’equació anterior i els valors 0 i 2. Observa que la imatge de 0 és –2 i la de 2 és 14, per tant entre 0 i 2 hi ha un nombre que té per imatge el 0 i per tant serà una solució de l’equació x4 +x3 - x2 - 2x- 2 = 0

Provem amb l’1 (el valor mig entre 0 i 2). La imatge de l’1 és –3, per tant, entre 1 i 2 hi ha una solució de l’equació.

Provem amb 1,5 (el valor mig entre 1 i 2). La imatge de l’1,5 és 1,1875, per tant entre 1 i 1,5 hi ha una solució de l’equació.

Inicia una nova sessió amb la calculadora Wiris clicant sobre la icona de la pestanya
EDICIÓ.
Escriu el títol:Mètode de bisecció
A sota escriu:
P(x) = x4 + x3 - x2 - 2x-2
a = 0
b = 2
c =
Inicialment la solució està entre a i b (entre 0 i 2). Ara hem de triar si la solució està entre a i c (entre 0 i 1) o bé entre c i b (entre 1 i 2).
Les imatges d’aquests dos nombres han de tenir signe diferent, per tant el producte de les imatges d’aquest dos nombres ha de ser negatiu. Així si P(a)·P(c) < 0aleshores a no canvia i la b pren el valor de c, altrament b no varia i l’a pren el valor de c.

Completa les instruccions anteriors tal i com es veu a la imatge de la dreta.
Utilitza les icones del menú programació.
Clica la fletxa vermella i observa els nous valors d’a i b.


Ara caldria repetir el procés amb els nous valors d’a i b, per exemple 9 vegades (com més repeteixis elprocés millor serà l’aproximació, però més temps tardarà). La instrucció que permet reiterar un seguit d’instruccions és
per condició fer
instruccions (si és més d’una separades per ;)
fi
En el nostre cas la condició seria un comptador (i en 1..9). Aquesta expressió indica que i anirà prenent valors entre 1 i 9.

Modifica i completa...