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Páginas: 5 (1091 palabras) Publicado: 16 de mayo de 2014
TEMA 6
Sucesiones y series numericas
Objetivos: Los objetivos son: (1) estudiar la convergencia de las sucesiones
numericas, (2) Conocer las series numericas y sus propiedades; (3) saber aplicar
los criterios y estudiar la convergencia de las series numericas.
Prerrequisitos: Manipulacion de expresiones y propiedades de las funciones
elementales. Concepto de lmite de una funcion ycalculo de lmites (regla de
L'H^opital).
Contenido:
Leccion 6.1 Sucesiones numericas. Definicion, caractersticas
y convergencia. Estudio de la convergencia y calculo de
lmites. Infinitesimos equivalente.
Leccion 6.2 Series numericas. Definicion, propiedades elementales
y suma de series. Criterios de convergencia.
Leccion 6.3 Series funcionales. Introduccion: funciones de nidas
mediante series. Series de potencias y series de Taylor. Aplicaciones a la
suma y aproximacion de series numericas. Series trigonometricas y serie
de Fourier.
Ingeniera Informatica. Calculo para la computacion 217
218 Calculo para la computacion
LECCION 6.1
Sucesiones numericas
La palabra sucesion designa una coleccion ordenada de objetos, de modo
que uno de ellos seidenti ca como el primero, otro como el segundo, etc. Por
lo tanto, una sucesion numerica es una secuencia de numeros ordenados.
Definicion 6.1 Una sucesion de numeros reales es una aplicacion a: N ! R.
0 1 2 3 : : : n : : :
# # # # : : : # : : :
a0 a1 a2 a3 : : : an : : :
Estas funciones se representan con notacion de subndices en lugar de con
parentesis, es decir, al 0 le hacecorresponder a0 (en lugar de a(0)), al 1 le
hace corresponder a1 (en lugar de a(1)), y as sucesivamente.
Los numeros reales a0; a1; a2; a3; : : : ; an; : : : son los terminos de la sucesion;
an es el termino n-esimo de la sucesion, es decir, el termino que ocupa la
posicion n y se denomina termino general de la sucesion; y la sucesion completa
se denota fang, o simplemente an. Enalgunas ocasiones no sera posible o no
interesara comenzar la sucesion con a0, sino en cualquier otro termino, de
modo que la sucesion sera: fak; ak+1; ak+2; : : : g para algun k > 0.
Ejemplo 6.1.1 Veamos algunos ejemplos de sucesiones:
Los terminos de la sucesion an = 1
n
con n  1 son
1;
1
2;
1
3;
1
4; : : : ;
1
n
: : :
Los terminos de la sucesion bn = (..1)n son1;..1; 1;..1; 1; : : : ; (..1)n; : : :
Los terminos de la sucesion cn = 2n .. 1
n2 con n  1 son
21 .. 1
12 ;
22 .. 1
22 ;
23 .. 1
32 ;
24 .. 1
42
   = 1;
3
4;
7
9;
15
16; : : :
Los terminos de la sucesion dn = 1 + 2 + 3 +    + n
nn con n  1 son
1
11 ;
1 + 2
22 ;
1 + 2 + 3
33 ;
1 + 2 + 3 + 4
44 ;    = 1;
3
4;
2
9;
5
128; : : :
E.T.S.I.Informatica
Tema6: Sucesiones y series numericas. 219
En los ejemplos anteriores, hemos de nido la sucesion a partir de la formula
que proporciona el termino general. Sin embargo, existen otras formas de
expresar o dar a conocer los terminos de una sucesion. Una de ellas es utilizando
una propiedad caracterstica. Por ejemplo, la sucesion de numeros
naturales acabados en 7 es f7; 17; 27; 37; 47; 57;67; : : : g, la sucesion de numeros
pares es f2; 4; 6; 8; 10; 12; 14; 16; 18; : : : g, la sucesion de multiplos de 3 es
f3; 6; 9; 12; 15; : : : g o la sucesion de numeros primos es f2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; : : : g.
Otra forma de de nir una sucesion es mediante una ley de recurrencia
o formula que permita calcular un termino a partir de los terminos que le
preceden. En este casosera necesario conocer uno o varios terminos iniciales.
Por ejemplo, la ley de recurrencia:
8<
:
a1 = 1
an = n + an..1 si n > 1
de ne la sucesion f1; 3; 6; 10; 15; 21; 28; : : : g donde an es la suma de los n primeros
numeros naturales, que tambien se puede expresar as:
an =
Xn
k=1
k = n(n + 1)
2
Dependiendo de la ley de recurrencia, a veces es necesario conocer mas de un...
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