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Método de Euler
En matemática y computación, el método de Euler, llamado así en honor de Leonhard Euler, es un procedimiento de integración numérica para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias a partir de un valor inicial dado.

El método de Euler es el más simple de los métodos numéricos resolver un problema del siguiente tipo:



Considere el problema de calcular la pendiente deuna curva desconocida que comienza en un punto dado y safisface una cierta ecuación diferencial dada. Se puede pensar en la ecuación diferencial como una fórmula que nos permite calcular la pendiente de la recta tangente a la curva en cualquier punto de la curva, siempre que el punto se conozca.
La idea es que a pesar de que la curva es desconocida en principio, su punto de comienzo(al cualdenotamos por A0) es conocido. Entonces, de la ecuación diferencial se puede computar la pendiente de la curva en el punto A0 y por lo tanto la recta tangente a la curva.
Ahora, dando un pequeño paso sobre dicha recta, podemos tomarnos un nuevo punto A1 y suponer que dicho punto pertenece a la curva, entonces seguimos el mismo razonamiento aplicado anteriormente y volvemos a calcular la pendiente de larecta tangente a la curva en el punto A1. Luego de varios pasos tendremos formada una curva poligonal A0A1A2A3... En general esta curva que obtenemos al aplicar el método no diverge lejos de la curva original, además el error entre ambas curvas se puede minimizar si se dan pasos muy pequeños al avanzar sobre la recta tangente a la curva y además el intervalo sobre el que trabajamos esfinito(aunque las cosas son más complicadas para ecuaciones inestables, como se discute más abajo).



Procedimiento
Consiste en multiplicar los intervalos que va de  a  en  subintervalos de ancho ; osea:



de manera que se obtiene un conjunto discreto de  puntos:  del intervalo de interes . Para cualquiera de estos puntos se cumlple que:

 .

La condición inicial , representa el punto  pordonde pasa la curva solución de la ecuación de el planteamiento inicial, la cual se denotará como .
Ya teniendo el punto  se puede evaluar la primera derivada de  en ese punto; por lo tanto:




Grafica A.
Con esta información se traza una recta, aquella que pasa por  y de pendiente . Esta recta aproxima  en una vecinidad de . Tómese la recta como reemplazo de y localícese en ella (la recta)el valor de y correspondiente a . Entonces, podemos deducir segun la Gráfica A:



Se resuelve para :


Es evidente que la ordenada  calculada de esta manera no es igual a , pues existe un pequeño error. Sin embargo, el valor sirve para que se aproxime  en el punto  y repetir el procedimiento anterior a fin de generar la sucesión de aproximaciones siguiente:

Ejemplo

Calculamos el valorde  tomando en cuenta que el  valor de divisiones es de ; por lo tanto quedaria así:


Plantear cuales son valores inciales de  y .
 .
Teniendo dichos valores podemos comenzar con el método:


Por lo que el resultado obtenido es: ; posteriormente procederemos a encontrar el valor relativo entre el valor exacto de la ecuacion que es 

Finalmente se calcula el Error relativo:Análisis de error para el método de Euler.


Grafica B.

La solución de las Ecuaciones diferenciales por medio de métodos númericos involucra varios tipos de errores:
Error del Método (Error de Truncamiento Local y Global):Este se debe a que, cómo la aproximación de una curva mediante una línea recta no es exacta, se comete un error propio del método. En este caso, el error es de primer orden -O(h1) -

Local: Es la diferencia que se produce entre el valor real de la función y el aproximado mediante la recta tangente -en lugar de moverse por la curva- suponiendo que el punto desde el que partimos -donde se cruzan la curva real y la recta que la aproxima- no tiene error alguno.

Propagado: Acumulación de errores por las aproximaciones producidas durante los pasos previos acumuladas. Es...