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Matriz asociada a un producto interno.

Sea V un IR – espacio vectorial de dimensión finita n.
Si (  ,  ): V  V  IR es un producto interno en V, se define una matriz n  n con coeficientes en IR asociada al producto interno (  ,  ) y respecto de una base
 = { v1, … , vn } de V así:

A = A (  ,  ),  =

Ejemplos:

i) Para el producto escalar y la basecanónica en IR2 la matriz es A y en general para el producto escalar en IRn y la base canónica la matriz es A = In.
ii) La matriz asociada al producto escalar en IR3 respecto de la base  = { (1, 1, 1), (1, 1, -1), (1, -1, 1) } es A =
iii) La matriz asociada al producto interno (  ,  ): IR2  IR2  IR definido por ((u1, u2, u3) , (v1, v2, v3)) =u1v1 + 2u2v2 + 3u3v3 para todo par de vectores u = (u1, u2, u3) y v = (v1, v2, v3) de IR3 respecto de la base  = { (1, 1, 1), (1, 1, -1), (1, -1, 1) } de IR3 se determina así: ((1, 1, 1) , (1, 1, 1)) = (1 . 1) + 2(1 . 1) + 3(1 . 1) = 6, ((1,1, -1) , (1, 1, 1)) = ((1, 1, 1) , (1, 1, -1)) = (1 . 1) + 2(1 . 1) + 3[1 . (-1)] = 0, ((1, -1, 1) , (1, 1, 1)) = ((1, 1, 1) , (1, -1, 1)) = (1 . 1) + 2[1 . (-1)] + 3(1 . 1) = 2, ((1, 1, -1) , (1, 1, -1)) = (1 . 1) + 2(1 . 1) + 3[(-1) . (-1)] = 6, ((1, 1, -1) , (1, -1, 1)) = ((1, -1, 1) , (1, 1, -1)) = (1 . 1) + 2[1 . (-1)] + 3[1 . (-1)] =2 y ((1, 1, -1) , (1, 1, -1)) = 6, de donde A ( , ),  =
iv) En IP2 con el producto interno (  ,  ): IP2  IP2  IR definido para cada par de polinomios p(x) y q(x) en IP2 por la matriz de este producto respecto de la base  = { 1, x + 1, x2 } es A ( , ),  = pues = x= 1, = = = = = = = = = = = =
v) En el espacio vectorial IRn con el producto interno ( ,  )IRn  IRn definido para todo par de vectores u = (u1, u2, … , un) y v = (v1, … , vn) por (u , v) = u1v1 + 2u2v2 + … + nunvn y  la base canónica A = –

Antes de proseguir definimos lo que significan las coordenadas de un vector de un espacio vectorial V respecto de una base  = { v1, … , vn } del mismo.
Si vV las coordenadas de v respecto de  esel vector columna v = en donde la combinación lineal de  con la que se expresa v es v = a1v1 + … +anvn.
La noción de coordenadas de un vector respecto de una base se verá en clases futuras, este adelanto es necesario para cubrir el tema que se discute ahora.

Las coordenadas de un vector respecto de una base  = { v1, … , vn } tienen las siguientes propiedades:

i) Las coordenadasde un vector v respecto de la base  son únicas.
ii) Si u, vV y kK, entonces (u + kv) = u + k(v).

En efecto:

Prueba de i):
Si v = y v = esto quiere decir que v = a1v1 + … +anvn y v = b1v1 + … +bnvn, pero entonces a1v1 + … +anvn = b1v1 + … +bnvn, de donde (a1 – b1)v1 + … +(an – bn)vn = 0V y, por la independencia lineal de los vectores v1, … , vn, se tiene
(a1 –b1) = … = (an – bn) = 0K, es decir a1 = b1, … , an = bn, lo cual en concusión implica
=
Prueba de ii):

Si u = y v = entonces u = a1v1 + … +anvn y v = b1v1 + … +bnvn y
kv = k(b1v1 + … +bnvn) = (kb1)v1 + … +(kbn)vn, lo cual implica (kv) = = k y
u + kv = (a1v1 + … +anvn) + [(kb1)v1 + … +(kbn)vn] = [a1 + (kb1)]v1 + … +[a1 + (kbn)]vn, de donde (u + kv) == + k= u +k(v).

Otro concepto que necesitamos es el de matriz de cambio de bases, que aunque se verá con más detalle en clases futuras, definimos ahora someramente.

Definición.
Sean V un K – espacio vectorial y  = { v1, … , vn } y ’ = = { v’1, … , v’n } dos bases de V. la matriz del cambio de bases de  a ’ es la matriz nxn, denotada por cuyas columnas son las coordenadas de los...