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´
Algebra Lineal.
Bolet´ 5. Autovalores y autovectores
ın
(1) Estudiar para qu´ valores de α y β la matriz siguiente es diagonizable:
e


5

0

0





A =  0 −1 β 
3 0 α
Obtener tambi´n los autovalores y los autovectores.
e
(2) Sea la matriz


4 2 6 2


 0 0 3 1
A=
 0 0 2 4

0 0 1 2

a) Hallar sus valores propios.








b) Probar, sinobtener los vectores propios, que no es diagonalizable.
c) Hallar los vectores propios.
(3) Sea la matriz


0 1 0 0





 0 0 1 0 


A=
0 0 0 1 


1 0 0 0

a) Hallar los autovalores de A. ¿Es A diagonalizable?
b) Sea el polinomio p(x) = α + βx + αx2 + βx3 con α, β ∈ R. Calcular la matriz
B = p(A) ∈ M4×4 (R). Estudiar para qu´ valores de α y β la matriz B es
ediagonalizable.
c) Sea el polinomio q(x) = 1 + x + x2 + x3 . Hallar el espectro y los subespacios
propios de D = q(A). ¿Es D inversible?
(4) Sean A y P ∈ Mn×n (R) tal que P es una matriz inversible. Sea B = P −1 AP .
a) ¿Qu´ relaci´n existe entre los autovalores de A y B?
e
o
b) Demostrar que si x es un autovector de A entonces P −1 x es un autovector
de B.
1

c) Dada la matriz:


11

1

1





 1 1 −1 1 

 ∈ M4×4 (R)
A=
1 −1 1 −1 


1 −1 −1 1

c1) Estudiar si A es una matriz diagonalizable. En caso afirmativo, dar
una base de R4 formada por autovectores de A.
c2) Dada la matriz:


0 1 0 0


 0 0 1 0
P =
 0 0 0 1

1 0 0 0





 ∈ M4×4 (R)



estudiar si es diagonalizable la matriz B = P −1 AP . En casoafirmativo, dar una base de R4 formada por autovectores de B.
(5) Sea α ∈ R, α = 0. Dada la matriz
α

A=

−

1+α2
α

α
−α

∈ M2×2 (R)

se pide:
i) Calcular A2 .
ii) Calcular los autovalores de A, as´ como sus multiplicidades algebraicas y
ı
geom´tricas. ¿Es A diagonalizable?
e
iii) ¿Es posible obtener una base de R2 formada por autovectores de A? Raz´nese
o
la respuesta.
iv)Encontrar una matriz inversible P ∈ M2×2 (C) verificando que P −1 AP sea
diagonal.
(6) Dada la matriz


se pide:

0 −1 −1 −1


 −2
A=
 0

2

0
1
1

a) Calcular los autovalores de A.




0 −2 
 ∈ M4×4 (R)
1
1 

1
3

b) Calcular las multiplicidades algebraica y geom´trica de dichos autovalores.
e
c) ¿Es A diagonalizable? Justificar la respuesta.
d) Obtener,si es posible, una base de R4 formada por autovectores de A.
e) Encontrar, si es posible, una matriz inversible P ∈ M4×4 (R) y una matriz
diagonal D ∈ M4×4 (R) tales que P −1 AP = D.
(7) Dada la matriz


8 −6


 −6
A=
 9

9

Se pide:

3

3




3 

9 −1
6 

9
6 −1
8

3

a) Calcular los autovalores de A, as´ como sus multiplicidades algebraicas y
ıgeom´tricas.
e
b) Razonar si la matriz A es diagonalizable.
c) Justificar si es posible obtener una base de R4 formada por autovectores de
A y, en caso afirmativo, calcularla.
d) Encontrar, si es posible, matrices P inversible y D diagonal tales que AP =
P D.
(8) Dada la matriz


0

1

1

0

1


2
1
2
3
 1

A =  −1
0
1 −1 −1


0
0
1
0
 0
0 −1 −1 −1 −1




 ∈ M5×5 (R)




se pide:
a) Calcular los autovalores de A.
b) Calcular las multiplicidades algebraica y geom´trica de dichos autovalores.
e
c) Razonar si A diagonalizable.
d) Hallar una base de los subespacios propios asociados a los autovalores de A.
e) Encontrar, si es posible, una matriz inversible P ∈ M5×5 (R) y una matriz
diagonal D ∈ M5×5 (R) tales que P −1 AP = D.(9) Dada la matriz








A=





0

1

0

0 0

0

0

0

0 1

−1 0

0

0 0

0

0 0

0

0

0

0 −1 0 0

0

0

0

1 0

0




0 

0 

 ∈ M6×6 (R)
−1 

0 

0

se pide:
a) ¿Es A sim´trica? ¿Es ortogonal? ¿Es normal?
e
b) Calcular los autovalores de A, as´ como sus multiplicidades algebraicas y
ı...