Agradecimientos

Concepto de determinante
A cada matriz cuadrada A se le asigna un escalar particular denominado determinante de A, denotado por |A| o por det (A).
A = 

Determinante de orden uno
  |a11| = a11   |5| = 5
Determinante de orden dos
= a 11 a 22 - a 12 a 21
 
  
Determinante de orden tres
Consideremos una matriz 3 x 3 arbitraria A = (aij). El determinante de A se define como sigue:

=a11 a22 a33 + a12 a23 a 31 + a13 a21 a32 - a 13 a22 a31 - a12 a21 a 33 - a11 a23 a32.
 =
3 · 2 · 4 + 2 · (-5) · (-2) + 1 · 0 · 1 -
- 1 · 2 · (-2) - 2 · 0 · 4 - 3 · (-5) · 1 = 24 + 20 + 0 - (-4) - 0 - (-15) = 44 + 4 + 15 = 63
Obsérvese que hay seis productos, cada uno de ellos formado por tres elementos de la matriz. Tres de los productos aparecen con signo positivo (conservan su signo) y trescon signo negativo (cambian su signo).
Regla de Sarrus

Pierre Sarrus (1798, 1861) fue un matemático francés que estableció una regla para para calcular determinantes de orden 3.
Regla de Sarrus
Los términos con signo + están formados por los elementos de la diagonal principal y los de las diagonales paralelas con su correspondiente vértice opuesto.

Los términos con signo - están formadospor los elementos de la diagonal secundaria y los de las diagonales paralelas con su correspondiente vértice opuesto.

Ejemplo

Menor complementario de un elemento de un determinante
Se llama menor complementario de un elemento aij al valor del determinante de orden n-1 que se obtiene al suprimir en la matriz la fila i y la columna j.
  

Adjunto de un elemento de un determinante
Sellama adjunto del elemento aij al menor complementario anteponiendo:
El signo es +    si  i+j  es par.
El signo es -    si  i+j  es impar.

El valor de un determinante es igual a la suma de productos de los elementos de una línea por sus adjuntos correspondientes:

  

Ejemplo
   
= 3(8+5) - 2(0-10) + 1(0+4) = 39 + 20 + 4 = 63
Determinante de orden uno
  |a 11| = a 11
  |-2| = -2Determinante de orden dos
 = a 11 a 22 - a 12 a 21
  

Determinante de orden tres
Se aplica la regla de Sarrus:

Cálculo de un determinante de cualquier orden
Consiste en conseguir que una de las líneas del determinante esté formada por elementos nulos, menos uno: el elemento base o pivote, que valdrá 1 ó -1.
Seguiremos los siguientes pasos:
1.Si algún elemento del determinante vale la unidad, seelige una de las dos líneas: la fila o la columna, que contienen a dicho elemento (se debe escoger aquella que contenga el mayor número posible de elementos nulos).

2.En caso negativo:
1. Nos fijamos en una línea que contenga el mayor número posible de elementos nulos y operaremos para que uno de los elementos de esa línea sea un 1 ó -1 (operando con alguna línea paralela ).

2.Dividiendola línea por uno de sus elementos, por lo cual deberíamos multiplicar el determinante por dicho elemento para que su valor no varie. Es decir sacamos factor común en una línea de uno de sus elementos.

3.Tomando como referencia el elemento base, operaremos de modo que todos los elementos de la fila o columna, donde se encuentre, sean ceros.

4.Tomamos el adjunto del elemento base, con lo queobtenemos un determinante de orden inferior en una unidad al original.
 = 2(-58)
Propiedades de los determinantes

1.|At|= |A|
El determinante de una matriz A y el de su traspuesta At son iguales.

2. |A|=0    Si:
Posee dos líneas iguales

Todos los elementos de una línea son nulos.

Los elementos de una línea son combinación lineal de las otras.

F3 = F1 + F2

3. Undeterminante triangular es igual al producto de los elementos de la diagonal principal..

4. Si en un determinante se cambian entre sí dos líneas paralelas su determinante cambia de signo.

5. Si a los elementos de una línea se le suman los elementos de otra paralela multiplicados previamente por un nº real el valor del determinante no varía.
 

6. Si se multiplica un determinante por un número real,...