Alegrba

Matemáticas I. Algebra. Examen 20 de Enero 2011
E5 (a) En el espacio vectorial de los polinomios de grado 1 se considera la base
e1 = 1 e2 = x y el vector v = −5 x + 1 . Dada la nueva base e '1 = 1+ x e '2 = 2 x + 1 se
pide: (i) verificar que se trata de una base (ii) Obtener la matriz T del cambio de base, y
(iii) obtener las coordenadas del vector v en la nueva base.
Solución
(i) Paraque sea una base, cualquier polinomio de primer grado P ( x) = a0 + a1 x debe
1
poderse expresar como P ( x) = a0 + a1 x = α 0 e '1 + α1e '2
1
De aquí, P ( x) = a0 + a1 x = α 0 (1 + x ) + α1 ( 2 x +1)
1
a0 + a1 x = (α 0 + α1 ) + (α 0 + 2α1 ) x

y
a0 = α 0 + α1
 a0  1 1   α 0 

 =
   cuya solución es α 0 = 2a0 − a1
a1 = α 0 + 2α1  a1  1 2   α1 

consecuencia, esuna base.

α1 = − a0 + a1 En

(ii) La relación entre ambas bases es:
 1 0  1 1   T11 T12 
T T 
( e1 e2 ) = ( e'1 e'2 ) .  T11 T12 
  =   .

 21 22 
 0 1  1 2   T21T22 
La matriz de transformación T es, pues
−1
 T11 T12 

 = ( e'1 e'2 ) . ( e1 e2 )
 T21 T22 

−1

 T T  1 1   1 0 
o bien  11 12  =    
 T21 T22  1 2   0 1 
−1 T T  1 1 
 2 −1
Operando se obtiene  11 12  =   = 

 −1 1 
 T21 T22  1 2 
 β  T T  α 
(iii) El cambio de coordenadas en es  1  =  11 12  .  1  donde β k k =1,nson las
 β 2   T21 T22   α 2 
coordenadas en la nueva base y α k k =1,n las coordenadas en la primera base. En el caso

considerado
y

 β1   2 −1  1   7 
 =
 .  =  
 β2   −1 1   −5   −6 

de donde se obtiene que
v = β1e '1 + β 2 e '2 = 7e '1 − 6e '2 pudiéndose verificar este resultado fácilmente calculando

v = 7 (1,1) − 6 (1, 2 ) = (1,5 )
T

T

TE5 (b) Dada la definición de producto escalar interno en el espacio de las funciones

continuas en (0,1)

1

( f , g ) = ∫0 f ( x) g ( x)dx , se desea encontrar la mejor aproximación,...