algebra lineal

Álgebra Lineal I

Facultad de Ciencias Físico-Matemáticas

Tarea 1

Agosto 2013

1. En cualquier espacio vectorial V, pruebe que (a + b)(x + y) = ax + ay + bx + by para cualesquiera
x, y ∈ Vy cualesquier a, b ∈ F.
2. Sea V = {0} y dena 0 + 0 = 0 y c0 = 0 para cada escalar c ∈ F. Pruebe que V es un espacio
vectorial sobre F. V es llamado el espacio vectorial cero.
3. Pruebe que Mm×n(F), el conjunto de todas las matrices m × n con entradas en F, es un espacio
vectorial con las operaciones denidas en clase.
4.
a) Sea V = {(a1 , a2 , . . . , an ) : ai ∈ C, i = 1, . . . n}; asíque V es un espacio vectorial sobre C

como vimos en clases. ¾Es V un espacio vectorial sobre el campo de los números reales con las
operaciones usuales?

b) Sea V = {(a1 , a2 , . . . , an ) : ai∈ IR, i = 1, . . . n}; así que V es un espacio vectorial sobre IR

como vimos en clases. ¾Es V un espacio vectorial sobre el campo de los números complejos
con las operaciones usuales?

5. Sea V= {(a1 , a2 ) : a1 , a2 ∈ IR}. Para (a1 , a2 ), (b1 , b2 ) ∈ V y c ∈ IR, dena
(a1 , a2 ) + (b1 , b2 ) = (a1 + 2b1 , a2 + 3b2 ) y c(a1 , a2 ) = (ca1 , ca2 ).

¾Es V un espacio vectorial sobre IRcon estas operaciones? Justique su respuesta.
6. Sea V = {(a1 , a2 ) : a1 , a2 ∈ IR}. Dena la suma de los elementos en V coordenada a coordenada,
y para (a1 , a2 ) ∈ V y c ∈ IR, dena
c(a1 , a2 )=

(0, 0)
ca1 , ac2

si c = 0
si c = 0.

¾Es V un espacio vectorial sobre IR con estas operaciones? Justique su respuesta.
7.
a) Pruebe que (aA + bB)T = aAT + bB T , para cualesquiera A, B∈ Mm×n (F).

1

b) Pruebe que (AT )T = A para cada A ∈ Mm×n (F).
c ) Pruebe que A + AT es simétrica para cualquier matriz cuadrada A.
d ) Se dene la traza de una matriz A de n × n como tr (A) =A11 + A22 + · · · + Ann . Pruebe

que tr (aA + bB) = a tr (A) + b tr (B).

8. Determine cuales de los siguientes conjuntos son subespacios de IR3 bajo las operaciones de suma y
multiplicación...