Algebra Wera


Centro de Investigación e Innovación de Productos Cárnicos y Formación Universitaria
TRABAJO:
“TRANSFORMACIONES LINEALES”

ALGEBRA LINEAL

Profesor(a): Gómez Morales Ma. Eugenia
Equipo:
Álvarez Alamilla Alejandra
Alan Jesús López Orihuela
González Cruz Ma. Isabel


ING. BIOTECNOLOGÍA

24 de June de 2015




ÍNDICE
1. Transformaciones lineales.

1.1. Definición y ejemplos.

1.2.Propiedades de las transformaciones lineales: imagen y núcleo.

1.3. Representación matricial de transformación lineal.

1.4. Isomorfismos.

1.5. Isometrías.

Bibliografía.












1. TRANSFORMACIONES LINEALES

1.1 DEFINICIÓN Y EJEMPLOS
Las transformaciones lineales son las funciones con las que trabajaremos en Algebra Lineal. Se trata de funciones entre K-espacios vectoriales que son compatibles conla estructura (es decir, con la operación y la acción) de estos espacios.
Una transformación lineal tiene tres elementos esenciales: el dominio, el condominio y la regla de asignación; además, tiene dos características importantes derivadas de las tres antes mencionadas: el recorrido (pertenece al condominio) y el núcleo (pertenece al dominio).
El dominio: es el espacio vectorial V a la cual sele aplicara la transformación.
El condominio: es el espacio W al cual pertenece el resultado de aplicar la transformación.
LA regla de asignación: T es la forma en la cual se debe manipular un elemento de V para convertirlo en elemento de W; finalmente T(V) es el recorrido de la transformación, y es el subconjunto de W obtenido a partir de la aplicación de la transformación de cada elementode V.
En el algebra lineal se ha hablado de operaciones de suma de vectores y multiplicación por escalar; para que una transformación sea caso de estudio en Algebra lineal, es necesario que mantenga dichas operaciones validas a lo largo de la transformación. Es así como surge el concepto de transformación lineal.

EJEMPLOS:
Sean los espacios vectoriales:

Y la transformación T:V W definidapor T(ax² + bx + c) = (a + 1,b + c,0)
Se observa fácilmente que en cualquier elemento de V se convierte en un elemento de W, tras aplicársele la transformación T. Por ejemplo: v= -2x² + x – 2 al aplicársele la transformación T, se obtiene:

Por lo que el polinomio V se convirtió en una terna ordenada perteneciente a W.

Sea M2 el espacio vectorial de las matrices cuadradas de orden dos conelementos reales, y una transformación H:M2 M2 que se define como:

En este caso la transformación se aplica por el mismo espacio al mismo espacio. Por ejemplo, para el vector se tiene que la transformación obtenida es:

Sea la transformación P1, definida por la regla de asignación:
S(a,b,c,d)=(a+d)x + (b-c)
Donde es el espacio vectorial de los cuartetos ordenados con elementos reales, y P1es el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual a uno.
En este caso el dominio de S será el espacio de; en tanto que el condominio es P1. Para obtener el recorrido de la transformación se requiere obtener uno de sus conjuntos generados. Esto se logra a partir de la transformación de una base del dominio; es decir, si se aplica la transformación a la basaB={(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)}
Se obtendrá un conjunto generador

Entonces, el conjunto generado del recorrido es:
G= {x, 1,-1, x}
Como se observa el conjunto G también es generador de P1 En este caso el recorrido y el condominio son el mismo.

Sean el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual a dos coeficientes reales, y la transformación T:P2 P2 definida por
T(ax² + bx + c) = (a + 2b –c)x² + (b + c)x + (a + c - 2c)
Para obtener el núcleo de la transformación se debe considerar que al transformar un polinomio se obtendrá el polinomio nulo; es decir,
T (ax² + bx + c) = 0x² + 0x + 0
Entonces,
T(ax² + bx + c) = (a + 2b – c)x² + (b + c)x + (a + b – 2c)
= 0x² + 0x + 0
De aquí se plantea el siguiente sistema de ecuaciones:
0x² + 0x +...