Algebra Y Calculo

ALGEBRE Y CAMPOS DE NUMEROS UTILIZADOS EN EL ALGEBRA Y EN EL CALCULO
Campos de N´ meros Utilizados en el Algebra y en el C´lculo: u a

Para empezar un caso de matem´tica aplicada en las ciencias de la ingea nier´ es conveniente realizar una breve revisi´n de los sistemas num´ricos ıa, o e utilizados en estas ´reas. a *N´ meros Naturales: u **Axiomas de Peano.a) 1 es un n´mero natural. 1∈ |N ∧|N=0 u b) Si a es un n´mero natural, entonces a+1 tambi´n es un n´mero natuu e u ral llamado sucesor o siguiente de a. a ∈|N −→ (a + 1) ∈|N c) 1 no es sucesor de ning´n n´mero natural. u u X|x ∈ |N → x + 1 = 1 d) Si hay dos n´meros naturales a y b tales que sus sucesores son iguales, u entonces a y b son n´meros naturales iguales. u c=a+1 d=b+1 c = d −→ a = b e) Axioma de Inducci´n.- Si unconjunto de n´meros naturales contiene o u a 1 y a los sucesores de cada uno de sus elementos, entonces contiene a todos los n´meros naturales. u Ejemplo: |N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ..., ∞} 1

*N´ meros Enteros Z: u Dados a, b, c, d ∈ |N a−b = c−d ↔ a+d = b+c (A)

El conjunto de todos los n´meros naturales,|N ,no esta cerrado con respecto a u la operaci´n, es decir, existen elementos p = a − b = c −d que no pertenecen o a este conjunto. Entonces, se definen clases de equivalencia a trav´s de un e conjunto de pares ordenados|N x|N, (a, b), ∀ a, b ∈ |N , tal que, cada una de estas clases pueda ser asociada a un unico n´mero entero. ´ u Z = {(a − b) ∼| a − b ∈ |N x|N } Donde que (a−b) ∼, denota todas las clases de equivalencia dadas por (A) *N´ meros Racionales Q: u Son los que se puedenexpresar como el cociente de dos n´meros a, b ∈ Z, u es decir, en forma de fracci´n. Z ⊂ Q pues se pueden expresar como el o cociente de ellos mismo para la unidad. a b , ∈Q 1 1 Q cumple con la propiedad de densidad o Arquimedida, esto es, para cualquier par de n´meros racionales, existe otro n´mero racional situado u u entre ellos. De acuerdo con esto Q es un conjunto denso. (VER FIGURA 1 ”NUMEROSRACIONALES”) Se caracterizan por tener un desarrollo decimal. a 10n a ∈ |N

Cumplen con: suma, multiplicaci´n, clausura, asociativa, conmutativa, diso tributiva, elementos neutros e inversos, orden, cancelativa. *N´ meros Reales |R: u **Cortaduras de Dedekind.2

Figura 1: NUMEROS RACIONALES

R. Dedekind introdujo el n´mero real por el M´todo llamado de las coru e taduras. Se llama Cortadura deDedekind en el conjunto Q de los n´meros racionales, o u Cortadura en el campo racional, a toda clasificaci´n de los n´meros o u racionales en dos clases A y B, de modo tal que: i) Ambas clases contienen n´meros. u ii) Todo n´mero de la clase A es menor que cualquier n´mero de la clase B, u u esto es: a ∈ A ∧ b ∈ B −→ a < b iii) Todo n´mero racional pertenece a una de las dos clases: u Unacortadura de Dedekind se denota por (A, B); la clase A se llama clase inferior y la clase B se llama clase superior de la Cortadura (A, B). **Teorema.- En toda cortadura (A,B) en el campo racional se presenta uno y solo uno de los siguientes tres casos: i) La clase A contiene un n´mero, a0 , mayor que todos los dem´s de ella. u a ∀x ∈ A, ∃a0 ∈ A | a0 > x

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ii) La clase B contiene un n´mero, b0 ,menor que todos los dem´s de ella. u a ∀y ∈ B, ∃b0 ∈ B | b0 < y iii) No se verifica ni (i) ni (ii). Ejemplo: Para (i).A = {x | x ∈ Q ∧ x 3} B = {x | x ∈ Q ∧ > 3} Para (ii).A = {x | x ∈ Q ∧ x < 3} B = {x | x ∈ Q ∧ x 3} b0 = 3 a0 = 3

Para (iii).- Si se define a la clase B como la de los racionales positivos cuyo cuadrado sea mayor que 2, as´ ı: B = {x|x ∈ Q, x > 0 ∧ x2 > 2} Entonces, la clase de Aestar´ formada por todos los dem´s n´meros racionales. a a u A = {x|x ∈ Q ∧ x B} De acuerdo con esto, se puede redefinir a ambas clases, de la siguiente manera: √ A = {x | x ∈ Q ∧ x 2} √ B = {x | x ∈ Q ∧ x > 2} De donde: √ 1) Puesta que para cada aproximaci´n racional de 2, hay otra mayor que o ella, por ejemplo: √ 7 141 707 < < < ... < 2 5 100 500 4 √

2 N mero Irracional

La clase A no...