Algebra y geometria analitica

Algebra & Geometría Analítica MATRICES Definición: Una matriz es una tabla rectangular de números o elementos de un anillo . Una matriz se representa normalmente entre paréntesis o corchetes: En las matrices anteriores, a, b y c son números cualesquiera.. Las líneas horizontales, denominadas filas, se numeran de arriba a abajo; las líneas verticales, o columnas, se numeran de izquierda a derecha.Utilizando esta notación, el elemento de la segunda fila y tercera columna de M1 es −1. Una fila o columna genérica se denomina línea. El tamaño de una matriz está dado por el número de filas y el de columnas en este orden, así M1, M2, M3 y M4 son de tamaño 3 3, 3 3, 3 2 y 2 3 respectivamente. Los elementos de una matriz general de tamaño m n se representan normalmente utilizando un doblesubíndice; el primer subíndice, i, indica el número de fila y el segundo, j, el número de columna. Así pues, el elemento a23 está en la segunda fila, tercera columna. La matriz general se puede representar de forma abreviada como A = (aij), en donde los posibles valores de los índices i = 1, 2, , m y j = 1, 2, , n se han de dar explícitamente si no se sobrentienden. Matrices Cuadradas: Si m = n, la matrizes cuadrada y el número de filas (o columnas) es el orden de la matriz. Dos matrices A = (aij) y B = (bij), son iguales si y sólo si son de igual tamaño y si para todo i y j, aij = bij. Si A = (aij) es una matriz cuadrada, los elementos a11, a22, a33, forman la diagonal principal de la matriz. La suma de dos matrices sólo está definida si ambas tienen el mismo tamaño. 1

Si A = (aij) y B =(bij) tienen igual tamaño, entonces la suma C = A + B se define como la matriz (cij), en la que cij = aij + bij, es decir, para sumar dos matrices de igual tamaño basta con sumar los elementos correspondientes. Así, para las matrices mencionadas anteriormente El conjunto de todas las matrices de un determinado tamaño tiene las propiedades uniforme, asociativa y conmutativa de la adición. Además hayuna matriz única O tal que para cualquier matriz A, se cumple A + O = O + A = A y una matriz única B tal que A + B = B + A = O. El producto AB de dos matrices, A y B, está definido sólo si el número de columnas del factor izquierdo, A es igual al número de filas del factor derecho, B; si A = (aij) es de tamaño m n y B = (bjk) es de tamaño n p, el producto AB = C = (cik) es de tamaño m p, Elelemento de la fila i y la columna k del producto es la suma de los productos de cada uno de los elementos de la fila i del factor izquierdo multiplicado por el correspondiente elemento de la columna k del factor derecho. El producto entre matrices no es conmutativo. Es decir AB ¹ BA Propiedades de las matrices Suma y multiplicación por un escalar 1. A+0=A (El cero representa una matriz neutra del mismoorden que A) 2. 0.A =A.0=0 (El cero en los dos primeros términos representa un escalar, mientras que en el último término representa una matriz del mismo orden que A) 3. A+B=B+A Ley conmutativa para la suma de matrices 4. (A+B)+C= A+ (B+C) Ley asociativa para la suma de matrices. 5. a (A+B) = aA+ aB Ley distributiva para la multiplicación por un escalar.

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6. 1.A=A 7. (a+b) A = a A+ bAMultiplicación entre matrices Ley asociativa para la multiplicación de matrices. Sea A = una matriz de orden m x n y B= de orden n x p, y C = de orden p x q , entonces A(BC) =(AB)C y el resultado es una matriz de m x q. Leyes distributivas para la multiplicación de matrices: 1. A(B+C)= AB+AC 2. (A+B) C= AC+BC Matrices espaciales La matriz diagonal es una matriz cuadrada, en la que todos sus elementosson nulos, excepto la diagonal principal. La matriz escalar es una matriz diagonal que tiene los elementos de la diagonal iguales. La matriz cero es aquélla en la que todos los elementos son 0. La matriz identidad Im de orden m, es una matriz cuadrada de orden m en la cual todos los elementos son cero excepto los de la diagonal principal, que son 1. Una propiedad de esta matriz es que es el...