Algebra

Análisis vectorial. Algebra vectorial 
1.1 Halle el vector unitario a lo largo de la línea que une el punto (2, 4, 4) con el punto (-3, 2, 2). 1.2 Sea A = 2 a x + 5a y − 3a z , B = 3a x − 4a y − 4 a z y C = a x − 4 a y + a z . a) Determine Calcule A − 5C , c) ¿Respecto de cuales valores de k es 1.3 Si

A + 2 B , b)

kB = 2 ?, d) Encuentre ( A × B ) / ( A ⋅ B ) .

A = 2 a x + a y − 3a z B =a y − az C = 3a x + 5a y + 7 a z
Determine:

a) A − 2B + C b ) C − 4( A + B ) c) 2 A − 3B C d) A⋅C − B e) 1 2 B×⎜
2

⎛1 A+ 1C⎞ ⎟ 4 ⎠ ⎝3

1.4 Si los vectores de posición de los puntos T y S son

3ax − 2a y + az y 4ax + 6a y + 2az ,

respectivamente, determine: a) las coordenadas de T y S, b) el vector distancia de T a S, c) la distancia entre T y S. 1.5 Si

A = 5 a x + 3a y + 2 a z B= − ax + 4a y + 6az
Halle los valores de α y β tales que α A + 1.6 Dados los vectores

C = 8a x + 2 a y

βB+C

sea paralela al eje y.

A = α ax + a y + 4az B = 3a x + β a y

− 6a

z

C = 5a x − 2 a y + γ a z
determine α, β y γ tales que los vectores sean mutuamente ortogonales. 1.7 Demuestre que a) ( A ⋅ B ) + ( A × B ) = ( AB )
2 2 2

Ejercicios tomados de: Elementos deelectromagnetismo, Matthew N. O. Sadiku, Tercera Edición

Análisis vectorial. Algebra vectorial 
b) 1.8 Puesto que

a x=

a y × az ax ⋅ a y × az

, a y=

ax × a y az × ax , a z= ax ⋅ a y × az ax ⋅ a y × az

P = 2ax + a y − 2az Q = 4 a x − 3a y + 2 a z R = − a x + a y + 2a z
halle:

a) b) c) d) e) f) g)

P+Q−R P ⋅Q× R Q×P⋅R

( P × Q ) ⋅ (Q × R ) ( P × Q ) × (Q × R )
Cos θ PR Sen θPQ

1.9 Dados los vectores T = 2 a x − 6 a y + 3a z y S = a x

+ 2a y + a z ,

halle a) la proyección escalar de de T

sobre S , b) la proyección vectorial de S sobre T , c) el ángulo menor entre T y S . 1.10 Si A = − a x + 6 a y +5a z y B = a x + 2 a y + 3a z , halle a) las proyección escalar de A sobre B , b) la proyección vectorial de B sobre A , c) el vector unitario perpendicular alplano que contiene a A y B . 1.11 Calcule los ángulos que el vector H = 3a x + 5a y − 8a z forma con los ejes x, y y z. 1.12 Halle el triple producto escalar P , Q y R cuando P = 2ax − a y + az Q = ax + a y + az R = 2 a x + 3a z 1.13 Simplifique las expresiones siguientes: a) A × ( A × B)
b ) A × [ A × ( A × B )] 1.14 Demuestre que el punto y la cruz del triple producto escalar podríanintercambiarse, es decir que

A ⋅ (B × C ) = ( A × B) ⋅ C

1.15 Los puntos P (1, 2, 3 ) , P2 ( −5, 2, 0 ) y P3 ( 2, 7, −3 ) forman un triangulo en el espacio. Calcule el área del 1 triangulo.

Ejercicios tomados de: Elementos de electromagnetismo, Matthew N. O. Sadiku, Tercera Edición

Análisis vectorial. Algebra vectorial 
1.16 Los vértices de un triangulo se localizan en ( 4,1, −3 ) , ( −2, 5, 4 )y ( 0,1, 6 ) . Encuentre los ángulos del triangulo. 1.17 Los puntos P, Q y R se localizan en ( −1, 4, 8 ) , ( 2, −1, 3 ) y ( −1, 2, 3 ) , respectivamente. Determine: a) la distancia en P y Q, b) el vector de distancia de P a R, c) el ángulo entre QP y QR, d) el área del triangulo PQR, e) el perímetro del triangulo PQR. 1.18 Si r es el vector de posición del punto ( x , y , z ) y A es un vectorconstante, demuestre que: a) ( r − A ) ⋅ A = 0 es la ecuación de un plano constante b) ( r − A ) ⋅ r = 0 es la ecuacion de una esfera c) Demuestre asimismo que el resultado del inciso a) corresponde a la forma Ax + By + Cz + D = 0, donde D = − A + B + C
2 2

(

2

) , y el inciso b) a la forma x

2

+y +z =r .
2 2 2

1.19 a) Compruebe que P = cos θ1 a x + sen θ1 a y y Q = cos θ 2 a x +sen θ 2 a y son vectores unitarios en el plano xy, donde forman respectivamente los ángulos θ 1 y θ 2 con el eje x. b) Obtenga mediante producto punto la fórmula para cos (θ 2 − θ 1 ) . Tras enunciar de igual manera P y Q , obtenga la fórmula para cos (θ 2

+θ ).
1

c) Si θ es el ángulo entre P y Q , halle
2 2

1 2

P − Q en términos de θ.

1.20 Dado A = x ya x − yza y + yz a z ,...