Algebra

´
Algebra
Algunas notas de clase

1

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.
MATRICES.

1.1

Introducci´n
o

Supondremos que el lector conoce los conjuntos num´ricos de los naturales,
e
los enteros, los reales, los racionales y los complejos y, m´s concretamente,
a
las operaciones usuales de suma y producto definidas en ellos, as´ como las
ı
propiedades que verifican. Si es ese elcaso, se estar´ en condiciones de afirıa
mar que respecto de esas operaciones, tanto Q como R y C tienen estructura
de cuerpo.1
En lo que sigue se presentar´n diversos conceptos en cuyas definiciones
a
hay que hacer referencia a elementos de un cuerpo y es muy probable que
el lector no conozca, en estos momentos, m´s modelos de cuerpos que los
a
ya mencionados. En consecuencia, vamos a adaptarnuestro lenguaje al que
toma como base a uno de estos cuerpos, concretamente al cuerpo R de los
n´meros reales. As´ se hablar´ de ecuaciones o matrices con coeficientes
u
ı,
a
reales, pero de igual modo podr´n expresarse en t´rminos de racionales,
a
e
complejos, o con coeficientes en cualquier otro cuerpo. Las conclusiones ser´n
a
igualmente v´lidas en todos los casos, salvo, obviamente,las que precisen de
a
alguna caracter´
ıstica singular del cuerpo considerado.2
Es este tema abordamos el estudio de los sistemas de ecuaciones lineales
y su problema asociado que es el de la resoluci´n. Pero digamos ya que este
o
no es nuestro objetivo. Y no debe serlo porque los sistemas de ecuaciones
lineales surgen en muy diversos ambientes, matem´ticos o no, y es seguro que
a
ellector ya habr´ recibido la correspondiente formaci´n en este campo, ante
a
o
su previsible utilidad, y habr´ usado lo aprendido en numerosos contextos
a
y ocasiones. Es decir, ya sabe resolver sistemas de ecuaciones. El referido
estudio s´ es, en cambio, nuestra excusa para presentar otras ideas, problemas
ı
1

Si K es un conjunto y +, · dos operaciones sobre K, se dice que (K, +, ·) es uncuerpo
si (K, +) es un grupo conmutativo con elemento neutro 0, el producto es asociativo, conmutativo, dispone de elemento unitario, hay un inverso para cada elemento del conjunto
que no sea el 0 y + es distributiva respecto de ·.
2
Por ejemplo, ante un determinado problema se dice “... y por tanto, hay infinitas
soluciones”. Es muy probable que ello sea cierto, pero como consecuencia de queel cuerpo
considerado tenga infinitos elementos. Ahora bien, hay cuerpos cuyo n´mero de elementos
u
es finito: los hay con tan solo dos o tres elementos.

1

y t´cnicas de trabajo en una parcela del ´lgebra a la que se suele denominar
e
a
a
´lgebra lineal.

1.2

Ecuaci´n lineal real con n inc´gnitas
o
o

Una ecuaci´n lineal real con n inc´gnitas, es una expresi´n de la forma a1x1 +
o
o
o
a2 x2 +· · ·+an xn = b donde los ai , i = 1, . . . , n, y b son n´meros reales y los xi ,
u
i = 1, . . . , n se denominan indeterminadas o inc´gnitas. A veces hablaremos
o
de ai como el coeficiente del t´rmino ai xi en la ecuaci´n y de b como el
e
o
t´rmino independiente o constante de la ecuaci´n.
e
o
Cuando no es muy grande el natural n, es decir, el n´mero de inc´gnitas,u
o
se usar´ a veces s´
a
ımbolos distintos para cada una de ellas en lugar de los
xi ; as´ suelen asignarse nombres como x, y, z, t, . . . , u, v, w, . . . Tambi´n, y si
ı,
e
ello no es causa de confusi´n, si el coeficiente ai es cero, no se escribir´ el
o
a
t´rmino ai xi . Finalmente, si el coeficiente ai fuese un n´mero real negativo,
e
u
ai = −a, se escribir´ ese t´rmino como −axien lugar de +(−a)xi .
a
e
Una colecci´n ordenada de n´meros reales s1 , s2 , . . . , sn se dice que es
o
u
una soluci´n de la ecuaci´n anterior si se verifica la igualdad de n´meros
o
o
u
reales a1 s1 + a2 s2 + · · · + an sn = b es decir, si asignando a las inc´gnitas
o
los valores x1 = s1 , x2 = s2 , . . . , xn = sn , en la ecuaci´n de partida, se
o
verifica la igualdad resultante....